ليس لها نهاية ولا قيمة عددية حقيقية، لكن إذا كنت تريد حساب محيط الدائرة التي تحيط بالكون بأكمله، فيمكن أن يساعدك ذلك. ما هو سر سحر فاي الذي يجعل الكثير من العلماء يفكرون فيه؟
بواسطة ران ليفي
ألكسندر هنري ريند لم يكن عالم رياضيات. لقد كان محاميًا اسكتلنديًا، ورجلًا شابًا نموذجيًا في منتصف القرن التاسع عشر، وله ولع خاص بالثقافة المصرية القديمة. وكان رند يعاني من مرض رئوي حاد، ونصحه أطبائه بالبقاء في مناخ جاف. بالنسبة لريند، كان هذا سببًا ممتازًا لعبور البحر الأبيض المتوسط إلى الجنوب. أثناء إحدى تجواله في الأسواق المزدحمة بمدينة الأقصر، صادف رند كشكًا أثريًا ولاحظ وجود ورقة كبيرة من ورق البردي يبلغ عرضها حوالي ستة أمتار. ومثل هذه البرديات، التي غالبًا ما تُسرق من المواقع الأثرية، تظهر أحيانًا في الأسواق. فحصت ريند البردية بعناية وقررت شرائها. ومن دون أن يدري، اشترى المحامي الشاب في تلك اللحظة تذكرة دخول إلى صفحات التاريخ. تحتوي بردية ريند، كما اكتشفنا لاحقًا، على أقدم قيمة معروفة للثابت الرياضي الأكثر شهرة: Pi π.
لم يستمتع رند بشهرته لأن مرضه طغى عليه عندما كان عمره حوالي 30 عامًا فقط، لكن ورق البردي الذي حصل عليه خضع للدراسة الدقيقة للغاية على مر السنين. وتشير النتائج إلى أن "بردية رند" كتبت قبل حوالي 1,700 عام قبل الميلاد، وهي في حد ذاتها نسخة من بردية أقدم، ربما كتبت قبل 300 عام. قيمة Pi كما تم تحديدها في الوثيقة القديمة هي 3.16، أي أقل بنسبة واحد بالمائة فقط من قيمتها الحقيقية المعروفة لنا اليوم. وكما تشهد "قشرة البردي"، فإن قدماء المصريين، وأيضا البابليين من قبلهم، لاحظوا خاصية غريبة ورائعة للدوائر: إذا قمت بقياس محيط الدائرة وقسمته على قطرها، ستحصل على عدد ثابت. لا يهم إذا كانت الدائرة صغيرة مثل البسكويت المملح، أو كبيرة مثل سور المدينة: فنتيجة قسمة المحيط على القطر ستكون دائمًا نفس الرقم، Pi.
ما سر جاذبية فاي؟
كان أرخميدس السيراكيوزي أول من نجح في تطبيق المبادئ الهندسية لغرض حساب باي. فرسم دائرة وحولها مضلعان متساويان الأضلاع: أحدهما داخل الدائرة والآخر خارجها. كان من السهل حساب محيط وقطر المضلعات باستخدام هندسة بسيطة، وأثبت أرخميدس أن الاثنين يشكلان حدًا أدنى وأعلى لمحيط الدائرة المحصورة بينهما. بهذه الطريقة، توصل أرخميدس إلى استنتاج مفاده أن Pi تساوي 3.14 تقريبًا، على الرغم من أن أرخميدس نفسه كان يعلم أن هذه ليست القيمة الحقيقية أو النهائية لهذا الثابت.
يمكن العثور على دليل على أهمية اختراق أرخميدس في حقيقة أنه لأكثر من 1,500 عام لم يتمكن أحد من حساب قيمة باي بدقة أعلى. صمد سجل أرخميدس لمدة 1,500 عام، وبعد ذلك خلال 200 عام فقط تمكن العلماء من حساب قيمة باي حتى الرقم 100 بعد النقطة. لكن بيل كان يميل إلى الاعتقاد بأن المهمة أصبحت سهلة. لا يزال الأمر يتطلب جهودًا هائلة من جانب عالم الرياضيات، الذي قرر تحمل العبء الثقيل لحساب باي.
قضى لودولف فان كولين معظم حياته في حساب باي حتى الرقم 35 بعد النقطة. لقد كان فخورًا جدًا بإنجازه، الذي كان الأفضل في القرن السابع عشر، لدرجة أنه طلب نقش قيمة فاي على شاهد قبره. لماذا اهتم علماء الرياضيات بحساب باي؟ ما هو الغرض من مطاردة رقم يبدو أنه ليس له نهاية؟ ففي نهاية الأمر، ليس هناك أي فائدة عملية في معرفة قيمة pi حتى الرقم 17 بعد النقطة وما بعدها.
كان لدى علماء الرياضيات الأوائل سبب وجيه لمحاولة حساب فاي بأكبر قدر ممكن من الدقة. كان الاقتصاد القديم يعتمد إلى حد كبير على الزراعة، وكان حساب المساحات المزروعة (التي لم تكن حدودها مستقيمة دائمًا كحاكم) وطول قنوات الري المتعرجة، ذا أهمية حاسمة بالنسبة للمزارعين. لكن الحساب الدقيق لـ Pi كان مشكلة صعبة بالنسبة للمصريين وأسلافهم، لأنه ليس عددًا صحيحًا، بل كسرًا: ثلاثة وقليلًا. وفي غياب المعرفة الرياضية اللازمة، لم يتمكنوا إلا من استخدام القياسات التي تم إجراؤها بالفعل لهذا الغرض، وهي قياسات كانت بدائية وغير دقيقة بشكل طبيعي.
وكان للخلفاء الفكريين للمصريين، اليونانيين، أيضًا أسباب وجيهة لحساب فاي. كان فيثاغورس وإقليدس وأصدقاؤهم منهمكين في حل لغز قديم، تكمن جذوره في ضباب التاريخ: لغز "تربيع الدائرة". كان السؤال الذي حيّر فلاسفة اليونان هو: هل من الممكن رسم مربع مساحته تساوي مساحة الدائرة؟ المشكلة هي أنه من أجل رسم مربع مساحته هي نفس مساحة الدائرة، عليك أن تعرف مساحة الدائرة بالضبط. يتم إعطاء هذه المساحة وفقًا للصيغة "Pi مضروبة في مربع نصف القطر"، مما يعني أنه يجب علينا معرفة قيمة Pi.
من أجل التوضيح، إذا أردنا حساب محيط الدائرة، التي تحيط بالكون بأكمله، فإن دقة باي تصل إلى الرقم 39 بعد النقطة ستكون كافية. جعلت مركزية باي مفهومًا أسطوريًا وأراد بعض علماء الرياضيات معرفة ما إذا كان هناك انتظام معين مخفي في أرقام باي العشوائية على ما يبدو. مثل هذا الانتظام، إذا كان موجودا، قد يكون دليلا على رؤى أعمق للكون من حولنا.
بسيطة، بسيطة جدا
ولكن كان هناك أيضًا أولئك الذين بحثوا عن طريق التفافي. في عام 1897، ألقى الطبيب المحلي، الذي كان أيضًا عالم رياضيات هاوٍ، إدوين جودوين، كلمة أمام أعضاء الجمعية العامة لولاية إنديانا في الولايات المتحدة الأمريكية. وأخبرهم بأنه نجح في حل لغز "تربيع الدائرة" الشهير. كان حل جودوين بسيطًا جدًا: فقد قرر أن قيمة Pi هي 3.2 وانتهى الأمر. عندما تكون قيمة Pi واضحة ومعروفة، فلا توجد مشكلة في رسم مربع بنفس مساحة الدائرة: احسب مربع نصف قطر الدائرة واضربه في 3.2.
اقترح جودوين تكريس حله في قوانين الولاية. وقد أحال أعضاء الجمعية العمومية لولاية إنديانا مشروع القانون إلى لجنة تخطيط قناة الري (وهو خيار واضح ومنطقي)، والتي كان لدى أعضائها ما يكفي من العقل لإحالة الأمر إلى لجنة التعليم. ولم تجد اللجنة أي سبب للاعتراض على تحديد قيمة فاي، حيث أن "قيمتها الحالية معقدة وملتوية لدرجة أنها غير مفيدة على الإطلاق". ومن هناك، انتقل مشروع القانون إلى الجمعية العامة للولاية، وتمت الموافقة عليه بالإجماع دون أي معارضة. وذلك عندما تم نقل مشروع القانون إلى مجلس شيوخ ولاية إنديانا للحصول على الموافقة النهائية قبل وضعه في كتاب قوانين الولاية.
وفي ليلة التصويت على الموافقة على القانون، جاء البروفيسور كلارنس والدو، عالم الرياضيات المحترف من الجامعة المحلية، إلى مبنى مجلس الشيوخ للإشراف شخصياً على ميزانية مؤسسته. وضع أحدهم الفاتورة بين يديه واقترح عليه أن يذهب ويهنئ المخترع المحظوظ. قرأ والدو مشروع القانون، وأدرك أنه محض هراء وتمكن في اللحظة الأخيرة من إقناع أعضاء مجلس الشيوخ بترك الفكرة الغبية جانبًا.
غير عقلاني ومتعالي
تم دق المسمار الأول في نعش مربع لغز الدائرة في عام 1761 عندما تمكن يوهان لامبرت - عالم الرياضيات السويسري غزير الإنتاج الذي ساهم كثيرًا في مجالات علم الفلك والبصريات - من إثبات أن باي ليس عددًا منطقيًا. الرقم المنطقي هو رقم يمكن تمثيله ككسر. على سبيل المثال، خمسة أثمان أو ربع. إذا لم يكن من الممكن كتابة العدد Pi في صورة كسر، كما أثبت لامبرت، فهو لا نهائي: فالأرقام بعد النقطة تستمر إلى ما لا نهاية.
جاءت شهادة وفاة لغز المربع الدائري بعد حوالي مائة عام، في عام 1882، عندما أثبت عالم الرياضيات الألماني فرديناند فون ليندمان أن باي هو عدد متسامي. العدد التجاوزي هو رقم لا يمكن الوصول إليه بالطرق التقليدية للجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة. بمعنى أنه من المستحيل أخذ أي رقم ومنه الوصول عن طريق الحساب إلى القيمة الحقيقية لـ Pi. المعنى الأعمق هو أنه لا يمكن تحديد القيمة الحقيقية لـ Pi. حاول قدر المستطاع، سنراجع دفاتر الملاحظات ونكتشف صيغًا جديدة - لن نتمكن أبدًا من الوصول إلى القيمة العددية الحقيقية لـ Pi، وذلك ببساطة لأننا لا نستطيع تعريفها.
ولكن هناك نوع آخر من مستكشفي فاي، الذين يأخذون الأمر إلى مكان آخر. يُطلق عليهم اسم "علماء الأنابيب" ويتنافسون مع بعضهم البعض في حفظ قيمة pi حتى الحد الأقصى لعدد الأرقام. الرقم القياسي العالمي، اعتبارًا من اليوم، ينتمي إلى ياباني، يحفظ قيمة باي حتى 100 ألف رقم بعد النقطة. لاحظ عالم الفيزياء اليهودي الأمريكي الشهير، ريتشارد فاينمان، حقيقة أنه في مكان ما في المكان 762 بعد النقطة يوجد تسلسل من ستة تسعات واحدة تلو الأخرى. قال فاينمان في إحدى محاضراته إنه كان مهتمًا بحفظ جميع الأرقام عن ظهر قلب، حتى المركز 762، فقط حتى يتمكن من قراءتها بصوت عالٍ ثم ينهيها بـ "تسعة تسعة تسعة تسعة تسعة تسعة" ". يتمتع الفيزيائيون بروح الدعابة الخاصة.
تم نشر المقال كاملا في عدد نوفمبر من مجلة "أوديسيوس - رحلة بين الأفكار"
ران ليفي كاتب علمي ويستضيف البودكاستصنع التاريخ!"، في العلوم والتكنولوجيا والتاريخ
المزيد عن هذا الموضوع على موقع العلوم
تعليقات 18
النقطة المهمة هي أن Pi هو رقم متسامي بشكل عام ويتم استخدام مثل هذه الأرقام كثيرًا. إذا قمت برسم مربع طول ضلعه 1 (في بعض الوحدات)، فقد قمت بالفعل برسم قطعة بطول متعالٍ لطول الجذر 2 وهو القطر. دون أن تفعل أي شيء لذلك، لا يوجد شيء إشكالي بشأن باي سوى حقيقة أن القدماء لم يفهموا أن هناك أرقامًا ليست كسورًا كاملة.
مايكل، لا تدخل إلى هناك.
ما هذا الهراء؟
هل يمكنك توفير الرابط حتى نتمكن من رؤية ما قرأته ولم تفهمه؟
وبما أنه من المتفق عليه أن pi هو اسم النسبة العددية بين محيط الدائرة وقطرها،
وبما أن محيط الدائرة وقطرها يشكلان مجموعة من قياسات الطول الطبيعي،
كل ما نعرفه عن هذا المزيج من الأبعاد هو بمثابة معرفة واحدة
المحيط أكبر من القطر
وهذا التمييز يمنع أي إمكانية لمعرفة عدد النسبة بين المحيط والقطر.
أ. أسبار
ملاحظة: تمت مناقشة هذا الموضوع باستفاضة في منتدى الرياضيات.
لغز المنطقة هو نفسه بالنسبة للمربع والدائرة. الحل: تم ربط سلسلة.
كما أن الأس الأسي هو عدد لا نهائي حوالي 2.71
لا أعرف متى قال فاينمان هذا، لكن الاقتباس مضلل نوعًا ما - ما قاله فاينمان حقًا هو أنه يريد أن ينتهي بـ "تسعة، تسعة، تسعة، تسعة، تسعة، تسعة، وما إلى ذلك" (وهكذا) مما يعني أن العدد من هنا فصاعدًا يستمر بتسعة فقط، لذا فهو عدد نسبي. يبدو لي بطريقة ما أن هذا النوع من النكتة (التي تتطلب بعض المعرفة الرياضية لفهمها) أكثر ملاءمة لفاينمان من الإشارة الغامضة إلى فرقة البيتلز.
والأغلب أن الأمر لا علاقة له بهزل الفيزيائيين، على فرض أنه قيل بعد سنة ثمان وستين، ولعل هذا إشارة إلى المقطع ثورة 9 من البيتلز.
المقالة عمرها أكثر من عام:
http://www.ynet.co.il/articles/0,7340,L-3630050,00.html
أُووبس. ليس يوهاي. محامي الشيطان بالطبع.
يوهاي - بالطبع أفهم. لذلك، أرجو أن تثقوا بي أنه إذا كنت، رغم هذا الفهم، أعتقد أن هذه نقطة أساسية وجوهرية وليست "تفاهات"، فإن هناك شيئًا ما وراءها.
في هذه الحالة، أشير إلى أن المنظور الذي ينظر من خلاله رين إلى مفهوم "محدد" و"قابل للحساب" برمته غير ذي صلة وغير مادي. يحد رن من معنى الحساب وتمثيل الرقم بطريقة اعتباطية للغاية (يسمح فقط بالتنشيط النهائي لعمليات الحساب الأربعة ويطالب بكتابة الرقم بالكامل على الورق) ولا يوجد أي منطق أو السبب وراء هذه القيود ما لم تنظر من خلال منظور شخص محدود يعيش حياة محدودة، ثم تظهر في الصورة الكلمة الوحشية الأولى التي قدمتها، والتي هي حتى أقل وضوحًا من الفطيرة.
في جوهرها، يتم تعريف الفطيرة على أنها الجمال، ويمكن حساب الجمال. أي رقم نريده من Pi، يمكننا معرفة ما هو عليه بعد فترة زمنية محدودة - تمامًا مثل أي رقم "حقيقي" مكتوب على الورق، معنى هذا بالنسبة لنا هو أنه يمكننا معرفة كل رقم بعد فترة محدودة من الزمن (فبعد كل شيء، لا يمكننا "التقاط" عدد طبيعي ضخم في مجمله، حتى لو كان مكتوبا كله على الورق). في رأيي، لا يوجد فرق جوهري بين الأرقام حول هذه النقطة، مما يعني أنني لا أتفق مع *النقطة الأساسية الرئيسية* التي طرحها ران في المقال (رياضيًا ما يكتبه هو ببساطة خطأ - استدلاله لماذا لا يمكن تقسيم الدائرة إلى أرباع غير صحيح - ولكن من الأسهل التسامح مع مثل هذه الأخطاء ).
إنني أقدر حقًا ران ومحاولته نقل المعرفة إلى أكبر عدد ممكن من الجمهور. معظم هذه المقالة تقوم بهذه المهمة بشكل جيد. تبدأ المشكلة عندما يحاول المقال القيام بشيء يتجاوز نقل المعرفة – ليخترع تفسيرات ومعاني لهذه المعرفة لا وجود لها. وهذا أمر غير صحيح ولا ينبغي نقله إلى الجمهور. وقد تكون بردية ريند وقانون باي في ولاية إنديانا كافيتين.
يوشاي
كيف ترسم الجانب الذي طوله بي؟ متى بالضبط ترفع قلم الرصاص من الصفحة؟
وتقدير نصف قطر الكون هو حوالي 10 أس 26 مترًا. إذا كانت أدواتنا اليوم قادرة على قياس ما يصل إلى أنجستروم، فسنحتاج إلى حوالي 36 بعد هذه النقطة لتقدير عدد الأنجستروم الذي يحيط بالكون. إذا افترضنا أن الأجهزة أفضل من ذلك قليلًا، والكون أكبر قليلًا، فإن 39 هو رقم معقول.
يوتشي: هذا صحيح، الرقم الأصغر هو أفضل رقم نعرف كيفية قياسه والرقم الأكبر هو أفضل تقدير لدينا لحجم الكون.
برج الجدي، أنت تافه بعض الشيء، الرقم الأولي الذي تصفه، لا يمكننا كتابته لأسباب فنية، يمكننا، من ناحية أخرى، قراءته إذا عشنا لفترة كافية، لا يمكننا كتابة Pi لأسباب مفاهيمية ، أنت بالتأكيد تفهم ذلك. حتى لو كان القرد الأول الذي تعلم الكلام بدأ في قراءة الرقم وآخر شخص مات في نهاية العالم أنهى ذلك، فلن يكون ذلك حتى جزءًا صغيرًا من الرقم. ولكن مرة أخرى، أنا متأكد من أنك تفهم. فيما يتعلق بالصياغة: حسب انطباعي (الإيجابي) عن مدونة ران، فإن هدفه (كما ذكر في رأيي) هو نقل المعرفة إلى أكبر شريحة ممكنة من الجمهور وليس فقط إلى الأشخاص من المجال الذين يفهمون ويفهمون بالفعل. ربما تعرف ذلك، تختلف الطريقة التي يخاطبون بها الجماهير المختلفة.
إن الانشغال بالصيغ الخفية و"الصغيرة" لن يساعد في نقل المعرفة إلى جمهور واسع.
في الواقع، لا توجد مشكلة في كتابة الأمر برمته على قطعة من الورق، وقد فعلت ذلك عدة مرات.
انضممت إلى برج الجدي في التمرد، لكنني أكثر صراحة بعض الشيء.
المقال مليء بالمغالطات التي لا تعتبر تفاهات رياضية، ولكنها تشير إلى عدم الفهم.
- "إذا لم يكن من الممكن كتابة باي ككسر، كما أثبت لامبرت، فهو لا نهائي: الأرقام بعد النقطة تستمر إلى ما لا نهاية." وينطبق هذا أيضًا على الأعداد النسبية، مثل الثلث.
-"من أجل التوضيح، إذا أردنا حساب محيط الدائرة، التي تحيط بالكون بأكمله، فإن دقة باي حتى الرقم 39 بعد النقطة ستكون كافية." ما هو معنى هذه الجملة؟ لماذا 39؟ ما هو حجم الكون؟
- من السهل جداً رسم مربع مساحته هي مساحة الدائرة. ما عليك سوى رسم مربع طول ضلعه هو جذر Pi. أنت فقط لا تستطيع أن تفعل ذلك باستخدام المسطرة والفرجار.
فيما يتعلق بمشكلة تربيع الدائرة، فهي مشكلة أكثر تعقيدًا قليلاً مما تم وصفه. هذا بناء يُسمح فيه باستخدام البوصلة والمسطرة فقط (ترسم خطوطًا مستقيمة، لكن لا يمكنك قياس المسافة بهما). هناك مشكلة ذات صلة وهي تقسيم الزاوية إلى 3 أجزاء متساوية. على الرغم من عدم وجود أرقام متعالية هنا، فقد ثبت بالفعل أن هذا بناء مستحيل.
لسوء الحظ، لا بد لي من التمرد هنا - العبارة "لن نصل أبدًا إلى القيمة العددية الحقيقية لـ Pi، ببساطة لأننا لا نستطيع تعريفها" هي ببساطة خاطئة؛ الاستخدام الخاطئ لكلمة "مجموعة". من الممكن تحديد القيمة العددية الحقيقية لـ pi دون صعوبة. فيما يتعلق بـ "الوصول" - وهو مفهوم غير واضح تمامًا - قد يكون صحيحًا أننا لن نتمكن أبدًا من كتابة Pi بالكامل على قطعة من الورق، ولكننا أيضًا لن نكون قادرين على كتابة العدد الأولي لـ Googleflex في صورته رقم على الورق لأنه لا يوجد ما يكفي من الذرات في الكون (لكنني لا أعتقد أن هناك حجة مفادها أن الأعداد الطبيعية لها "قيمة عددية حقيقية").
خطأ آخر: "الرقم التجاوزي هو الرقم الذي لا يمكن الوصول إليه بالطرق التقليدية للجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة." - هذا التعريف أيضًا غير مكتمل (لأنه لا يذكر أين "يبدأ" المرء محاولة الوصول)، ويصف أيضًا عددًا غير نسبي، إذا وضعنا الافتراض المعقول أنه يبدأ من أعداد طبيعية - أي أنه ليس عددًا وصف خاصية التعالي (الجذر الجبري لـ 2 من المستحيل أيضًا الوصول إليه مع الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة إذا بدأ من الطبيعي). لسوء الحظ، لقد أشرت بالفعل إلى هذا الخطأ من قبل عندما قرأت المقال في مكان آخر ولم يتم تصحيحه بعد.
في المثال الخاص بك حول عدد الأرقام اللازمة لمعرفة الكسر الذي يشمل الكون، تحتاج أيضًا إلى تحديد أصغر حجم - على سبيل المثال لتتمكن من تمييز كرة القدم. الدقة هي رقم نسبي بين الحد الأقصى للحجم والحد الأدنى للحجم.
http://www.smbc-comics.com/index.php?db=comics&id=1809