الدليل النهائي على نظرية فيثاغورس

ديفيد ويلز. ترجم من الإنجليزية: أرييه ليرنر. منشورات مي آن (416، (09-7781239 ص، 94 شيكل
: لمتعة الأرقام ديفيد ويلز مقدمة حكيمة وبارعة أنت عالم رياضيات

بواسطة أرييه روخ

فرحة الرياضيات

برهان نظرية فيثاغورس من الكتاب

الرابط المباشر لهذه الصفحة: https://www.hayadan.org.il/math280804.html

الغرض من الكتاب هو تعريف القراء بالمسائل الرياضية وطرق رائعة لحلها. القارئ مدعو لحل المشاكل بنفسه. وإذا لم ينجح يعرض عليه حل أو أكثر بطريقة تهدف إلى إثارته وإسعاده. الاسم الأصلي للكتاب باللغة الإنجليزية هو You Are Mathematician، لأقول لك: لا يوجد ما تخاف منه من الرياضيات، الجميع قادر على حل المشكلات في الرياضيات، وليس فقط علماء الرياضيات المحترفين. لهذا الغرض عليك أن تعمل. عليك أن تلعب مع المشكلة. عليك أن تستخدم خيالك. يجب على المرء استخدام الروابط مع المجالات الأخرى، وإيجاد أوجه التشابه بين المجالات التي تبدو غير ذات صلة.

لذلك، هذا الكتاب موصى به في المقام الأول لمعلمي الرياضيات. ومن خلاله سيكونون قادرين على إثراء معرفة طلابهم وكذلك أنفسهم بسهولة. يوصى أيضًا بقراءة الكتاب لأي شخص يحب الرياضيات ولديه معرفة أساسية. حتى أولئك الذين يعتبرون أنفسهم يكرهون الرياضيات قد يكتشفون مفاجأة سارة أثناء القراءة، عندما يتبين لهم أنهم قادرون على اكتساب قدر كبير من المعرفة الرياضية وحتى الاستمتاع بها.

ولتوضيح كل ذلك نشير إلى البرهان الرائع لنظرية فيثاغورس، الوارد في الكتاب ص 240. وقد قدم أ.س. لوميس 367 برهانا على هذه النظرية في كتابه "نظرية فيثاغورس" الصادر عام 1940. لا توجد نظرية أخرى في الرياضيات حصلت على الكثير من البراهين. يشير تعدد البراهين إلى المكانة الخاصة للنظرية في عالم الرياضيات. إلا أن الأدلة التي قدمها الكتاب هي الأجمل في رأيي المتواضع، كما سيتم توضيحه لاحقاً.

تنص نظرية فيثاغورس على أنه في حالة وجود مثلث قائم الزاوية، فإن مجموع مساحات المربعين المبنيين على المتعامدين يساوي مساحة المربع المبني على الباقي. هناك براهين أكثر تعقيدًا وهناك براهين بسيطة نسبيًا. القاسم المشترك بينها جميعًا هو أنها تعتمد على الحسابات، وعلى المثلثات المتداخلة، وعلى الإنشاءات المساعدة المرهقة، والمزيد. لا شيء من هذا يؤثر على الدليل الرائع الموجود في الكتاب. وسمحت لنفسي، ولمصلحتي ومصلحة القراء، أن أضيف توضيحات مفقودة في الكتاب. و هذا هو الدليل:

المستوى بأكمله "مرصوف" بمربعات، في أنماط مكونة من 4 مربعات كبيرة مع مربع صغير بينهما. الآن قم بتوصيل رؤوس المربعات قطريًا. يتم الحصول على شبكة من المربعات. من المهم للغاية أن نفهم سبب وجود هذه المربعات. هذا يرجع إلى اعتبارات التماثل. اقلب الصفحة 90 درجة في أي اتجاه. هل حدث أي تغيير في الشكل؟ الجواب سلبي. هذا النوع من الأرضيات متناظر نحو دوران 90 درجة. ومن ثم، فإن المربعات القطرية التي تم إنشاؤها عن طريق ربط رؤوس "البلاطات" قطريًا يجب أن تكون مربعات، وإلا فسنشعر بالتغيير عندما نقلب الصفحة. سنكون قادرين على تحديد كل مرة تكون فيها الصفحة، وهو أمر مستحيل مع مثل هذا التناظر (الحقيقة هي أنه يمكن إثبات هذا الادعاء عن طريق المثلثات المتداخلة وحساب الزوايا، ولكن لماذا يفسد مثل هذا الدليل العقيم بالحسابات والتداخلات؟ )

والآن نرى أن المستوى بأكمله مرصوف من جهة بمربعات كبيرة (وهو المتعامد للمثلثات المتكونة)، ومربعات صغيرة (وهو المتعامد الآخر لنفس المثلث). أي أن "مساحة" المستوى تساوي مجموع مساحات هذه المربعات مضروبًا في "عدد" الصفوف. ومن ناحية أخرى، فإن "مساحة" المستوى تساوي مساحة التبليط القطري الكامل للمربعات، بينما تستقر المربعات القطرية على باقي المثلث نفسه. "عدد" المربعات القطرية "يساوي" "عدد" المربعات الكبيرة، وهو أيضًا "رقم" المربعات الصغيرة. وهذا أثبت نظرية فيثاغورس أمام أعيننا، دون أن نقوم بتداخل واحد أو عملية حسابية واحدة. وهذا هو الدليل النهائي على نظرية فيثاغورس. وبهذا الدليل وحده يستحق الكتاب أن يكون في متناول أي متعطش للمعرفة والتحدي.

يحكي كتاب "الرجل الذي أحب الأرقام فقط" (تأليف بول هوفمان، ماتر للنشر، 2001) قصة عالم الرياضيات غزير الإنتاج بول أرداش. وكان يبحث دائمًا عن الأدلة من "الكتاب"، أي: الأدلة السماوية، من "كتاب" الله. هل لي أن أقترح أن هذا الدليل على نظرية فيثاغورس هو هكذا. إنه يستخدم بشكل رائع عنصرين أساسيين في الرياضيات: التماثل، وإعادة الترتيب، وإعادة تنظيم العناصر. بالإضافة إلى ذلك، يشرح هذا الدليل بشكل مقنع ولا لبس فيه سبب صحة نظرية فيثاغورس، ولماذا يجب أن تكون صحيحة. وهذا دليل من "الكتاب". صرح عالم الرياضيات هاردي أنه "لا يوجد مكان في العالم للرياضيات القبيحة". والدليل على هذه النظرية، كغيرها من النظريات والأفكار الأخرى في الكتاب الذي أمامنا، يثبتها جيدًا.

ومع ذلك، فإن الكتاب لا يخلو من العيوب. ليس لديها قائمة ببليوغرافية وليس هناك إشارة إلى الأدبيات الرياضية. وهذا يجعل من الصعب على القارئ أن يجد مصدر وفرة المعلومات الرياضية المعروضة أمامه، وأن يتوسع في تعليمه. في بعض الأحيان يفتقر الدليل إلى التفاصيل، أو يتم حذف التفاصيل الأساسية. وينصح المعلم الذي يهدف إلى نقل المعرفة من الكتاب إلى طلابه أن يراجع البرهان ويشرحه جيدًا لنفسه قبل تدريسه لطلابه. كما أن العلاقة بين الأجزاء المختلفة من الكتاب ليست واضحة دائمًا، وهناك حالات تتطلب المزيد من التحرير الدقيق.

قام أرييه ليرنر بعمل ممتاز في ترجمة الكتاب. من ناحية أخرى، يفتقر الرسم التوضيحي للغلاف إلى المصداقية. كما أن الكاتب لا يتم تقديمه على الإطلاق لجمهور قرائه. كل هذا لا يجعلني أتراجع بأي شكل من الأشكال عن الإطراءات التي افتتحت بها هذه المراجعة. إن دراسة الرياضيات وحبها وصلت إلى مستوى منخفض جدًا في إسرائيل: هناك خوف كبير وغير مبرر منها. هناك نقص كبير في كتب مثل هذه، والتي على أساسها هناك تحية للجمال الكامن في هذا العالم. كل كتاب، وخاصة الكتاب الجيد مثل هذا، يستحق التبارك والقراءة، مما يسبب الكثير من المتعة والبهجة.

عبقري الرياضيات
العلم - مراجعة لكتب العلوم الشعبية

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~936136599~~~133&SiteName=hayadan