زينو مالاي - رياضيات مؤلف مفارقة أخيل والسلحفاة

يعتبر زينو مالاي من أوائل علماء الرياضيات

ما هي الرياضيات؟ يبدو هذا السؤال بلاغيًا بعض الشيء لأننا نعلم جميعًا أنه في الأساس نفس قاعدة بيانات الصيغ والمعادلات التي من المفترض أن تصف شيئًا ما بشكل عام، وجميع أنواع الروابط المنطقية بين شيء وآخر. ومن المثير للدهشة أن هذه ليست الطريقة التي تم بها التعامل مع هذا المجال من الأعداد في العصور القديمة، بل كان يُنظر إليه على أنه نوع من المساعدة المخصصة؛ إذا أراد مصري من العصر الفرعوني أن يعرف مقدار الماء الذي يمكن وضعه في حوض ماء مربع الشكل، فإنه يحسب طول القطرين في الخزان ويضربهما في بعضهما البعض، وكانت النتيجة هي كمية الماء المطلوبة . وبعد عدة محاولات أدرك أنها لم تكن نتيجة دقيقة ولكنها تقدير جيد جدًا، وهذا ما اتخذ قراره. كانت هذه هي العادة حتى العصر الذهبي لليونانيين - كانت الرياضيات حسابية، من النوع الذي يمكن أن يساعد الشخص العادي على أساس يومي في أعماله وشؤونه المنزلية وما شابه ذلك. ولم تكن مسألة صحة هذه الحسابات مدرجة على جدول الأعمال. وعندما جاء اليونانيون، جلبوا معه أهم أسس الرياضيات المعروفة بالبرهان، أي ترتيب واضح ومحدد للعمليات يؤدي دائمًا إلى نتيجة معينة يمكن توقعها. وهذه في الواقع بداية الرياضيات كما نعرفها اليوم، وقد نشأت من أفكار الفلاسفة العظماء والعميقين الذين أعطوا تفسيرًا "أرضيًا" على شكل معادلات رياضية. كانت العلاقة بين الفلسفة والرياضيات قوية جدًا لدرجة أنه من الصعب العثور على فيلسوف لم يكن عالم رياضيات أو عالم رياضيات لم يكن فيلسوفًا. ومن أهمها موضوع المقال التالي.

ما نعرفه عن زينون حصلنا عليه بشكل أساسي من سجلات أفلاطون وعدد من الكتاب الآخرين، لكن هذه المعلومات ليست كثيرة جدًا. ولد زينون في مدينة علاء (إيطاليا الآن) عام 490 قبل الميلاد وبدأ بالفعل في شبابه في الانخراط في عالم الفلسفة. تأثر زينون الفيلسوف تأثراً عميقاً بصديقه المقرب الذي كان أيضاً فيلسوفاً مهماً يدعى بارمينيدس - الشخصية الرئيسية في نظرية الأحادية التي تقوم على مبدأ أن كل الأشياء الموجودة في العالم هي في الواقع حقيقة أبدية واحدة تسمى "هل"؟ ". ويترتب على هذا المبدأ أنه بما أن كل شيء شيء واحد - فلا يمكن أن تكون هناك حالات عدم وجود - لأن كل شيء موجود، أو يتحرك - لأنه لا يوجد مكان يتحرك فيه إذا كان العالم كله والتفاصيل الموجودة فيه شيئًا واحدًا. واحتوى أحد الكتب الشهيرة التي ألفها عنها على 40 مفارقة في مسألة الاستمرارية، كان لأربعة منها تأثير حاسم على عالم الرياضيات بأكمله لفترة طويلة. المواضيع الرئيسية للكتاب، كما ذكرت، كانت حول فكرة توحيد الأفراد الموجودين في العالم (أي لا يوجد تعدد) والجمود.

أحد الأمثلة على الطريقة التي هاجم بها فكرة وجود أكثر من شيء واحد في هذا العالم هو أنه إذا افترضنا أننا نأخذ حجمًا معينًا ونقسمه فمن المؤكد أنه يمكن تقسيمه مرة أخرى لعدد لا نهائي من المرات ولن نتمكن أبدًا من الوصول إلى عدد معين. النقطة الأخيرة حيث يمكن القول أنه جزء بذاته ولا ينتمي إلى ذلك الجزء الأولي، كما ادعى زينون أن الموقف الذي لا يوجد فيه شيء له حجم محدد غير ممكن على الإطلاق. وقد شرح القول الأخير الفيلسوف سمبليسيوس نيابة عن زينون بقوله: إذا أضفنا شيئا بلا حجم إلى عامل آخر أو طرحنا منه نفس الشيء فإن ذلك العامل لا يزيد ولا ينقص؛ وبما أنه لم يكن هناك تغيير في هذا العامل، فإن ما أضفناه أو طرحناه في الواقع لم يكن شيئًا، ويترتب على ذلك أن العامل الذي ليس له مقدار لا يمكن أن يوجد.

والأمر الآخر الذي تناوله بالطبع هو الجمود والأهمية الحاسمة التي أولاها أرسطو لهذه المفارقات عندما جمع أربعة منها (التي ذكرناها أعلاه) في كتابه المهم - الفيزياء. كانت هذه هي المفارقات المعروفة لدى الكثيرين منا كالثنائية، وأخيل والسلحفاة، والسهم والملعب. هنا يوجد ثلاثه منهم:

كان ادعاء المفارقة الأولى هو أنه لا يمكن أن يكون هناك أي حركة لأي جسم، لأنه لكي يصل هذا الجسم إلى نقطة نهاية المسار، يجب عليه أولاً أن يصل إلى النقطة الوسطى من المسار. وهذا بالطبع ادعاء فلسفي وترجمته إلى لغة الرياضيات هي ما يسمى الآن بالسلسلة؛ عدديًا، يمكننا القول أنه إذا كان لدينا خط يبلغ طوله 1 سم، فمن أجل الانتقال من 0 إلى 1 يجب علينا أولاً الانتقال بمقدار 0.5 سم، ولكن أيضًا من أجل الوصول إلى 0.5 سم يجب علينا أولاً الوصول إلى 0.25 سم وهو نصف الطريق من منتصف الطريق وهكذا، إذا واصلنا هذا إلى ما لا نهاية، فلن يكون للحركة معنى أبدًا لأننا لن نتمكن أبدًا من الوصول إلى النهاية. في الصيغة الرياضية يبدو الأمر كما يلي - 1/2 + 1/4 + 1/8 +…. = 1، هذه المعادلة ليس لها حل لأنه سيكون هناك دائمًا جزء صغير مفقود لإكماله إلى مجموع 1، وبالتالي لا يمكن منطقيًا وجود حركة ممثلة بالانتقال من 0 إلى 1 (أو أي طول آخر). هذه هي مفارقة الانقسام التي رأيناها سابقًا في الادعاء بأن حجمًا معينًا يمكن تقسيمه بطريقة ما يمكن تقسيمه إلى ما لا نهاية (بشكل متناقض) وبالتالي فإن كل الأشياء في الأساس شيء واحد. وهذا في الواقع ادعاء رائع.

المفارقة الثانية هي السهم وتصف حالة السهم الذي يطلق من القوس ويتحرك نحو الهدف. هذه المسافة هي في الواقع مثل الانتقال من 0 إلى 1 الذي أظهرناه سابقًا، وإذا كان السهم في مراحل معينة في جميع أنواع النقاط بين 0 و1 فهذا يعني أنه يمكن تقسيم طول هذا الجزء مرة واحدة على الأقل، ولكن لقد سبق أن قلنا أنه إذا كان من الممكن تقسيم جزء معين إلى قسمين فإنه يمكن تقسيمه إلى أجزاء لا نهائية. إذا كان الأمر كذلك، فإن السهم أثناء طيرانه مر عبر عدد لا نهائي من النقاط وستظهر الصورة المجمدة لكل نقطة من هذه النقاط أن السهم لم يتحرك فعليًا، ويترتب على ذلك أنه لم يتحرك طوال رحلته وبالتالي فإن الاستنتاج هو أنه لم تكن هناك حركة على الإطلاق.

سأحاول أن أشرح ذلك بطريقة أخرى - عندما نقول أن جسمًا يتحرك فإننا نعني في الواقع أنه كان عند النقطة أ عند نقطة معينة ثم انتقل إلى النقطة ب، هذه حقيقة واضحة لأننا رأينا الانتقال، ولكن الشكل يمكن أن يكون الجسم الذي قطع فيه هذه المسافة بعدد لا حصر له من الطرق، كل منها نسميه الوقت. ويمكننا أن نقول إن السهم انتقل من نقطة إلى أخرى في زمن معين، مثلاً ثانية واحدة، ويمكننا القول إنه قطع هذه المسافة في ثانيتين. من أين يأتي الفرق؟ شيء آخر اسمه السرعة أو معدل التغير في الزمن. أي أن تعريف مصطلح السرعة يعتمد على نقطتين زمنيتين، النقطة التي بدأ فيها الجسم رحلته، والنقطة التي انتهى عندها. كما نعلم جميعًا، فإن الخط يمتد بين نقطتين، ولكن في بداية المقال قلنا أن الخط هو في الواقع حجم معين وإذا أردنا تجاوزه فلن نتمكن من ذلك لأننا لن نحصل عليه أبدًا من أشر إلى نقطة أخرى. ويترتب على ذلك أن الإزاحة الزمنية (أو الاختلاف في الزمن) لا يمكن أن توجد، وإذا لم يتحرك الزمن فإن السرعة غير موجودة، أي أنها تساوي دائمًا الصفر، مما يجعل السهم دائمًا عند سرعة صفر - أي ثابت استراحة.
المفارقة الثالثة التي قدمها زينو هي على الأرجح الأكثر شهرة وتعرف باسم "أخيل والسلحفاة".

تبدو المشكلة إلى حد ما مثل مشكلة الانقسام الثنائي وتصف الموقف الذي يتنافس فيه أخيل، وهو أسرع رجل في العالم، ضد السلحفاة ولكنه يمنح الأخيرة "تقسيمًا" لعدة أمتار حتى تكون المنافسة عدل. مرة أخرى، يوضح زينو هنا أيضًا أن أخيل لن يهزم السلحفاة أبدًا لأنه لن يكمل أبدًا المسافة الأولية بينه وبين السلحفاة، على غرار المشكلة السابقة.

ما مدى تأثير هذه المفارقات حقًا على عالم الرياضيات؟ ادعى برتراند راسل (راسل)، أحد أعظم منطقية الرياضيات، في أحد كتبه أنه على الرغم من أن هذه المفارقات كانت تعتبر في زمن زينون هراء منطقيًا، إلا أنه تم إجراء العديد من المحاولات مع مرور الوقت لحل المشكلات التي طرحها، بشكل أساسي في المجالات المهمة من الرياضيات المعروفة باسم نظرية المجموعات والمتسلسلات اللانهائية المتقاربة، ولكن في النهاية، تتكرر المشكلات الأساسية لهذه المفارقات مرارًا وتكرارًا لأن الشخص يدرك مفهوم الاستمرارية (على سبيل المثال، الخط) في شكلين هما: غير متوافقة مع بعضها البعض.

ومهما كانت النتائج، فإن هذه المفارقات اليوم يمكن النظر إليها على أنها انشغال بسؤالين: الأول يتساءل عما يحدث لشيء ما في لحظة معينة، الآن، دون أي صلة بين ما كان قبله وما سيكون بعده، والسؤال الثاني يتساءل ماذا سيحدث لنفس الشيء في مرحلة لاحقة.
هذه أسئلة ليست الإجابة عليها سهلة، ولكن إذا نظرنا إلى الوراء يمكن القول أن هذه هي في الواقع أساسيات الفكر الذي كان وراء تطور حساب التفاضل والتكامل، وهما المفهومان الأكثر أهمية في عالم الرياضيات في خاصة وفي العلوم عامة.