ما هي الإستراتيجية الصحيحة عند الاختيار بين ظرفين مختومين متطابقين، يحتوي أحدهما على ضعف مبلغ المال الموجود في الآخر، إذا سمح لنا بتغيير رأينا بعد الاختيار الأول؟
ماريوس كوهين، مجلة "جاليليو".
المفارقة: أمامنا ظرفين متماثلان الشكل، مغلقان ومختومان، بحيث يستحيل رؤية محتوياتهما، وعلينا أن نختار أحدهما. قيل لنا أن كل ظرف به مبلغ معين من المال، والمبلغ الموجود في أحد الظرفين (لم يتم إخبارنا أيهما) هو ضعف المبلغ الموجود في الظرف الآخر (لنفترض أيضًا أن النقود على شكل تحقق، بحيث تكون الأظرف أيضًا هي نفسها من حيث الوزن والحجم).
وبما أنه من المستحيل معرفة مقدار المال الموجود في كل ظرف، فإن اختيارنا لأحدهم يكون عشوائيًا. لكن مباشرة بعد اختيار أحد المظروفين، يُتاح لنا خيار التبادل بينهما، أي إعادة المظروف الذي اخترناه واستلام المظروف الآخر مكانه، والذي بالطبع يكون به إما ضعف المبلغ المالي التي لدينا حاليا، أو نصف هذا المبلغ فقط. هل يجب علينا التبديل أم البقاء مع خيارنا الأولي؟
يبدو أنه فيما يتعلق بفرصة الفوز بأكبر قدر من المال، لا يهم إذا بقينا مع خيارنا الأولي أو قمنا بتبديل المظاريف، لأنه لا يوجد فرق خارجي بينهما. وبالمثل، كان بإمكاننا أيضًا اختيار المظروف الآخر أولاً، وكان لدينا خيار استبداله بالمظروف الذي اخترناه بالفعل.
ومن ناحية أخرى، لنفترض أن مبلغ المال الموجود في الظرف الأول الذي اخترناه هو شيكل. وبالتالي فإن مبلغ المال الموجود في الظرف الآخر هو إما 2 شيكل، أو A/2 شيكل، بحيث يؤدي التبادل بين المظروفين إما إلى ربح A/2 شيكل أو خسارة A/100 شيكل، ويبدو بالتالي ، أن تبادل المظاريف سيكون في الواقع استراتيجية جيدة (إذا تمكنا من التنازل عن 50 شيكل والحصول في المقابل على 200 شيكل أو XNUMX شيكل، يبدو أن خطر الخسارة الصغيرة يبرر فرصة تحقيق ربح كبير).
بالنسبة لأولئك الذين هم على دراية بمفهوم التوقع، إليك اقتراح لحساب جدوى التبادل: بما أن المبلغ الموجود في المظروف الآخر هو إما 2A أو A/2 مع احتمال متساو (في ظاهر الأمر، يبدو أن هناك لا يوجد سبب لافتراض فرصة أكبر لأحد الخيارين)، فإن توقع المبلغ الذي سيكون لدينا بعد التبادل هو:
وهذا بالمقارنة بالشيكل الموجود تحت تصرفنا حاليًا. معنى حساب متوسط العمر المتوقع هو أنه إذا عرض علينا تكرار اللعبة عدد كبير من المرات، وفي كل مرة نختار استراتيجية الاستبدال، في النهاية سوف نجمع أموالًا أكثر بنسبة 25٪ مما لو اخترنا عدم الاستبدال الإستراتيجية (إذا تخلينا عن 100 شيكل 10 مرات، وفي مكانها نحصل، على سبيل المثال، 5 مرات 50 شيكل و5 مرات 200 شيكل، ففي نهاية المطاف، مقابل الـ 1,000 شيكل التي تنازلنا عنها، سنحصل على 1,250 شيكل).
لتحسين هذه التجربة الفكرية قليلًا، لنفترض أن الكمية الموجودة في أحد الظرف أكبر بـ 100 مرة من الكمية الموجودة في الظرف الآخر. في مثل هذه الحالة، يبدو أن تغيير الأظرف يعطي فرصة كسب 99 شيكلًا أفضلية واضحة على فرصة خسارة 0.99 شيكل (إذا كانت A، على سبيل المثال، 1، فإننا نجازف بخسارة 99 شيكلًا من الشيكل الذي لدينا مقابل فرصة ربح 99 شيكل).
لكن مرة أخرى، المغلفان متطابقان تمامًا، وكان بإمكاننا اختيار المظروف الآخر في المرة الأولى أيضًا، وإذا كان الأمر يستحق استبدال المظروف A بالمظروف B، فمن غير المرجح أن يستحق استبدال المظروف B بالمظروف A أيضًا. أيضًا، إذا عُرضت علينا مرة أخرى إمكانية التبديل بين المغلفات (بعد أن قمنا بالفعل بالتبديل بينهما مرة واحدة)، فوفقًا لاعتبارات استراتيجية التبديل، سيكون هذا أمرًا جديرًا بالاهتمام مرة أخرى. لكن تغيير المظاريف مرتين يعادل عدم تغييرها على الإطلاق! فهل يستحق التبديل بين المظاريف أم أنه لا توجد ميزة في مثل هذا التبديل؟
تم تقديم هذه المفارقة في عام 1989 من قبل باري نالبوف، وهو خبير في نظرية الألعاب من كلية الإدارة بجامعة ييل، والذي استند في المفارقة إلى فكرة مماثلة لعالم الرياضيات البلجيكي موريس كريتشيك من عام 1953.
نقاط للتفكير
ومن الافتراضات التي أدت إلى قبول استراتيجية التبادل أنه بعد أن قمنا بالفعل باختيار أحد المظروفين، فإن احتمال أن يكون مبلغ المال في المظروف الآخر ضعف ما في المظروف الذي اخترناه يساوي احتمال أن يكون مبلغ المال الموجود في هذا الظرف نصفه فقط. هل هو حقا كذلك؟ لنفترض أن المبالغ الموجودة في المظروفين هي 100 شيكل و 200 شيكل. إذا اخترت الظرف الذي به 100 شيكل (دون أن تعرف ذلك)، فإن الظرف الآخر فيه ضعف هذا المبلغ؛ أما إذا اخترت الظرف الذي به 200 شيكل، فإن الظرف الآخر يحتوي فقط على نصف هذا المبلغ، ولكنه ليس نفس المبلغ في الحالتين: إذا كان المبلغ في الظرف الآخر مضاعفًا، فهو ضعف الـ100. شيكل، لكن إذا كان المبلغ فيه النصف فقط، فهذا نصف 200 شيكل!
كان الافتراض الرئيسي الذي أدى إلى رفض استراتيجية الاستبدال هو أن المظروفين متماثلان تمامًا، وبالتالي فإن الاستبدال بين المظروفين يعادل في الواقع اختيارًا أوليًا مختلفًا، ويبدو أنه لا ينبغي أن يكون هناك اختلاف من حيث فرص الفوز إذا اختار أحد المغلفين أو الآخر. ولنفترض أيضًا أنه تم تسليم المظروفين إلى شخصين مختلفين. إذا كانت استراتيجية التبادل صحيحة، فسيكون كلا الشخصين مهتمين بتبادل المظاريف، لكن من المستحيل أن يكون مثل هذا التبادل مفيدًا لكليهما! تسمى الاعتبارات من هذا النوع اعتبارات التناظر، ولها قدر كبير من القوة الإقناعية. فهل يعتبر التماثل بين الظرفين سببا كافيا لرفض استراتيجية الاستبدال؟
حل المفارقة
تم تبرير استراتيجية التبادل أعلاه على أساس هذا الاعتبار: إذا كان مبلغ المال في الظرف الأول الذي اخترناه هو شيكل، فإن مبلغ المال في الظرف الآخر هو إما 2 شيكل أو A/2 شيكل، وبالتالي يتم التبادل بين المظاريف بنفس الاحتمال سيؤدي إما إلى ربح شيكل أو خسارة شيكل A/2.
لكن هذا تمثيل مضلل للوضع الراهن. في الواقع، أمامنا مظروفان، أحدهما يحتوي على شيكل والآخر يحتوي على 2 شيكل. إذا اخترنا بشكل عشوائي ظرفاً يحتوي على شيكل، واخترنا استبداله مع الظرف الآخر، فسنكسب شيكل، أما إذا اخترنا ظرفاً يحتوي على 2 شيكل، فإن التبادل بين الأظرف سينتهي بالخسارة شيكل! (أو، إذا كانت المبالغ الموجودة في المظاريف هي شيكل و100 شيكل، فإن فرصتنا في ربح 99 شيكل تتعارض مع فرصتنا في خسارة 99 شيكل أيضًا).
وبالتالي فإن المبلغ الذي قد نكسبه يساوي المبلغ الذي قد نخسره، لذلك لا يهم إذا بقينا مع خيارنا الأصلي أو قمنا بالتبديل بين المظروفين. كانت الطريقة السابقة لعرض الربح مقابل الخسارة المحتملة صحيحة إذا تم إعطاؤنا مظروفًا به نقود (على سبيل المثال 100 شيكل)، وبعد ذلك فقط تم وضعنا في مظروف آخر مع نفس الاحتمال إما مبلغ من المال ضعف ذلك أو نصف المبلغ فقط المبلغ، وبعد ذلك عُرض علينا إجراء التبادل. فإذا بدلنا بين المظروفين لكان من الممكن أن نحصل على 100 شيكل أو 200 شيكل بدلا من الـ 50 شيكل باحتمال متساو، وكان الربح المحتمل أكبر من الخسارة المحتملة، وهو ما كان يبرر التبادل. ولكن كما رأينا، هذه ليست قواعد اللعبة.
ومن حيث اعتبارات طول العمر، إذا بقينا مع الاختيار الأصلي، فإن طول عمر المبلغ الذي لدينا يتم حسابه على أساس أن احتمال أن يكون الظرف الذي اخترناه به شيكل يساوي احتمال أن يكون به 2 شيكل:
إذا قمنا بالتبديل بين المغلفات، فإن الامتداد الجديد سيكون في الواقع مساويًا للامتداد القديم:
(تم تغيير ترتيب العناصر المتصلة فقط)، مما يثبت مرة أخرى أنه لا يهم إذا بقينا مع خيارنا الأولي أو قمنا بالتبديل بين المغلفات (كما هو متوقع من اعتبارات التماثل). ومن ناحية أخرى، فإن حساب التوقع المقدم في البداية يتوافق مع السيناريو الثاني، حيث تم وضع مبلغ من المال في الظرف الآخر فقط بعد أن اخترنا أحد الظروف، باحتمال يساوي ضعف أو نصف المبلغ. المبلغ في المظروف الأول.
حلوى
لنفترض أنه عُرض عليك المشاركة في لعبة من هذا النوع، وقبل أن يُعرض عليك خيار التبادل، سُمح لك بإلقاء نظرة على المبلغ الموجود في المظروف الذي اخترته (ولكن لم يُسمح لك بإلقاء نظرة على المبلغ الموجود في المظروف الذي اخترته) ظرف آخر يكون فيه المبلغ ضعف ما لديك أو نصفه). هل كانت اعتباراتك مختلفة حينها؟ لنفترض أنك توصلت إلى نتيجة مفادها أن التبادل جدير بالاهتمام في ظل هذه الظروف. ولكن بعد ذلك، حتى عندما لم يكن مسموحًا لك بفتح المظروف، يمكنك استخدام المعرفة التي قمت بفتحها وستختار التبديل بين المغلفات، وعلى أساس هذه المعلومات اختر استراتيجية الاستبدال (والتي كما رأينا أعلاه ، لا مبرر له).
وأيضاً كيف يمكن للبعد النفسي الذي لا علاقة له بالمشكلة الأصلية أن يؤثر على قرارك في ظروف اللعبة الجديدة؟ هل أنت على استعداد للمخاطرة بمبلغ 999 شيكل من أصل 1000 للحصول على فرصة أن تصبح مليونيراً؟ (على سبيل المثال، إذا وجدت شيكًا في مظروف بمبلغ إجمالي قدره 1000 شيكل، وقيل لك أن أحد المظروفين يحتوي على أموال أكثر بـ 1000 مرة من المظروف الآخر)، أو هل أنت على استعداد للمخاطرة بفرصة حياتك لتصبح مليونير (إذا كان الشيك الذي وجدته بمليون شيكل) للحصول على فرصة أن تصبح مليارديرات؟
نُشرت أصلاً في مجلة "جاليليو".
تعليقات 17
وفي ردي على مقال "إلى اللانهاية وما بعدها" قدمت التعريف الدقيق للمفارقة - وهي حجة منطقية تتحول إلى شيء غير منطقي بسبب الأخطاء الجسيمة في طريقة تفكير الناس. أنا لا أقول إننا جميعاً معوقون عقلياً هنا، لكن لا يوجد أحد مثالي. فكر للحظة: ماذا سيحدث في الكون إذا وجد تناقض منطقي ليس له حل؟ هذا لن يحدث. وماذا لو حدث ذلك؟ كما تفهم، يمكن أن تستمر هذه المحادثة المملة. لذلك دعونا نترك الأمر عند هذا الحد.
في الواقع، يمكنني دحض هذه المفارقة بسهولة، بالاستعانة ببعض الحقائق والتعريفات (سوف تفهم بالتأكيد كيف تدحض المفارقة..)
و. التوقع هو شيء لا ينجح إلا على عدد كبير جدًا من التجارب والألعاب وما إلى ذلك، وكلما زاد العدد، كان أقرب إلى التوقع.
ب. إذا كان هناك شيئين متطابقين مع بعضهما البعض من وجهة نظرنا، فمن وجهة نظرنا فمن الممكن استخلاص نفس مقدار الربح (أو الخسارة) من كليهما.
ثالث. من المحظور (في الرياضيات، ليس أنك ستعاقب على ذلك، آمل) أن تخلط في عملية حسابية واحدة فقط (نوع من "تمرين السلسلة") توقعًا ومتوسطًا عاديًا.
وبالمناسبة - الحل الذي أتعاطف معه أكثر من غيره: يمكنك ببساطة إجراء نصف E مضروبًا في 2 E في الجذر، وبالطبع يخرج E (لماذا؟ سؤال للتفكير).
إنه موقع جيد ولكنه لا يحتاج إلى الكثير فهو موقع جيد لمعرفتنا
مختص بمجال علمي:
أنت على حق.
أعرف هذه الأمور وللأسف المؤلف لم يتطرق إلى حل المفارقة إطلاقا.
وكما قلت في مناسبات أخرى فإن حل المفارقة هو الإشارة إلى الخطأ في الاعتبار الذي يؤدي إلى استنتاج خاطئ، وليس بتقديم حل آخر يؤدي إلى حل صحيح.
وهنا كما ذكرت المشكلة في الواقع هي افتراض وجود دالة توزيع تعطي فرصة متساوية لكل رقم على خط الأعداد، في حين أن كل من يفهم الأمر يعلم أن مثل هذه دالة التوزيع لا يمكن أن توجد لأن تكامل كل رقم دالة التوزيع واحدة.
أعرف بالطبع أيضًا ما هي الإستراتيجية، ولكن بما أنك أردت أن يفكر الناس فيها، فلن أخوض في التفاصيل في هذه المرحلة. لست متأكداً، في ظل الردود التي وصلت حتى الآن، إذا كان هناك من يفهم أصلاً ما نتحدث عنه (لهذا السبب امتنعت عن التعليق حتى الآن مع أنني رأيت المقال من قبل ولاحظت الأخطاء فيه). )
المشكلة معروفة وقد نشرت نسخة منها مع حلها في مجلة ساينتفيك أمريكان عام 1985 إن لم أكن مخطئا.
المفارقة أعمق بكثير من مسألة الربح مقابل الخسارة، وتتعامل بشكل أساسي مع السؤال "هل يوجد توزيع احتمالي موحد على نطاق لا نهائي ومن الواضح أنه لا يوجد مثل هذا التوزيع".
أما بالنسبة للحل الفعلي، بافتراض أنك ترى المبلغ في المظروف الأول، هناك استراتيجية تمنحك فرصة أكثر من 50% أنك بعد أن تقرر ما إذا كنت تريد التبديل ستبقى مع المظروف الذي يحتوي على المبلغ الأكبر.
ما ورد أعلاه صحيح إذا كان أحد المظروفين يحتوي على ضعف كمية الأول، وكذلك عندما يكون هناك مظروفين فقط يحتوي أحدهما على كمية أكبر.
والأكثر إثارة للدهشة أن نجد أنه حتى لو تم الإعلان عن استراتيجية التبادل، وتم اختيار المبالغ الموجودة في المظروفين بطريقة تقلل من فعالية الاستراتيجية قدر الإمكان، فإن استراتيجية التبادل تظل على المدى الطويل قائمة. متلقي المظاريف فعال بنسبة تزيد عن 50%.
تلميح للمهتمين - هذه استراتيجية احتمالية.
السؤال هو كيف ستشعر بعد ذلك؟
الخيار الأول هو الحظ
والخيار الثاني هو الجشع
da
بسيط جدا ! لماذا تعقيد الأمور؟
50% في هذا الاتجاه وبالتالي:
أ*0.5 + ب*0.5= إجمالي الربح!
أي لنفترض أن A=1 و B=999 بالتالي:
الربح = 0.5+499.5 = 500
وهكذا في الاتجاه الآخر.
وبشكل عام متوسط الربح = (أ+ب) /2
الاحتمالية والصدفة والمخاطرة ونقطة البداية والمصير:
وبحسب الشكل: يقال لنا أن كل ظرف يحتوي على مبلغ معين من المال، والمبلغ الموجود في أحد الظرفين (لم يخبرنا أيهما) هو ضعف المبلغ الموجود في الظرف الآخر؛ أحد تفاسير هذا الرقم الذي يقول على وجه اليقين المبالغ؛ إذا كان هذا التفسير صحيحا، فإذا كان مبلغا كبيرا، حتى أن نصفه، يشكل تعويضا كافيا، فلا يهم بالتأكيد؛ حتى مع الكميات الصغيرة، فإن النظر في اتخاذ خيار آخر ليس مهمًا؛ وفي حال كان قسماً من المبالغ بين الحد الأقصى والحد الأدنى؛ في بعض الأحيان يلعب الحظ السعيد في يد الشخص ويفوز.
مدهش!! لقد بدأت أقود الناس في المكتب إلى الجنون بالألغاز، والآن يعاني الجميع من الصداع!! شكرا!
وجهة نظرك ليست "صحيحة".
من تعريف المشكلة لا يوجد سوى خيارين.
*
المبلغ الأعلى في المظروف A، أو المبلغ الأعلى في المغلف B.
*
ويمكن رؤية المفارقة بالطريقة التالية.
لنفترض أن هناك لعبتين:
يوجد في اللعبة (أ) مظروفين بقيمة 50 و100
يوجد في اللعبة B مظروفين بقيمة 100 و200.
يتم الاختيار بين اللعبتين بشكل عشوائي تماماً (على سبيل المثال عن طريق رمي قطعة نقدية) ولا يعرف المشارك نوع اللعبة المختارة وعليه اختيار أحد المظاريف.
إذا كان المشارك يعرف المبلغ الموجود في المظروف الذي اختاره، فهناك استراتيجية الاستبدال الأمثل (الاستبدال إذا كان هناك 50 أو 100 وعدم الاستبدال في حالة 200).
الحالة المثيرة للاهتمام هي عندما لا يعرف المشارك المبلغ الموجود في الظرف الذي اختاره. الشيء الوحيد الذي يعرفه المشارك (مثل المثال الأصلي) هو أن هناك احتمال بنسبة 50% أن يحتوي الظرف الثاني على ضعف المبلغ وفرصة متساوية لنصف المبلغ. هل هناك استراتيجية بديلة مثالية في هذه الحالة؟
أولاً سنقوم بتحليل احتمالية اختيار المشارك لكل مبلغ.
50 - احتمال اختيار اللعبة أ (وهو 50%) مضاعف واحتمال أن يختار مظروفًا به 50 (أيضًا 50%) وبالتالي 25%
ظهور 100 - 100 في كلتا المباراتين لذا تكون الفرصة 50%
200 - حساب مشابه لحالة 50 أي 25%
الآن سوف نقوم بتحليل ربحية استراتيجية الاستبدال في كل حالة:
50 - يحصل بالتأكيد على 100 وبالتالي ربح 50
100 - احتمال متساوي أن يكون المغلف الثاني 200 (ربح 100) أو 50 (ربح -50) وبالتالي متوسط الربح هو 25
200 - بالتأكيد تفقد 100
يتبقى لنا الآن حساب متوسط الربح وهو حاصل ضرب الاحتمالات في الأرباح
25%*50 + 50%*25 + 25%* -100 = 0
ومن المؤكد أن عدم معرفة المبلغ يزيد من عدد الخيارات.
بمجرد أن لا تعرف ما هو المبلغ وأي من الظروف هو الأكبر (تمامًا كما هو موضح في المقال) لديك 3 مبالغ بالضبط
XX/2 و2X
ولكن كما قال
يمكن تحقيق خيارين فقط
الحيلة هنا تكمن في البيانات
نظرًا لأنك لا تعرف أي المغلفات أكبر
، أنت لا تعرف ما هو المبلغ وتختار ظرفًا بالمبلغ X
لذا فأنت لا تعرف ما إذا كان الثاني يحتوي على X/2 أو 2X
لذلك، يوجد خياران هنا للمتغير المحدد X وهو المبلغ الموجود في الظرف الذي اخترته
الخيار "الزائد عن الحاجة" يتعلق فقط بالحساب الإحصائي لـ "هل من الأفضل الاستبدال"
سأقوم بتحسين المثال بأرقام حقيقية
يوجد أمامك ظرفين متطابقين بلا بلا بلا بلا كما هو مذكور في المقال
لقد حددت مظروفًا
فيه 100 شيكل، لكنك لا تعرف ذلك
الثانية يمكن أن تكون إما 50 شيكل (X/2) أو 200 شيكل (2X)
ففي النهاية أنت لا تعرف المبالغ المعنية ولا تعرف هل اخترت الظرف الذي يحتوي على المبلغ الأكبر أم لا
ومن هنا يستمر الحساب الإحصائي للمقالة
في المرة الثانية التي تقوم فيها بالاختيار
ولتعلمون أن المبالغ المعنية هي 100 و200 شيكل وليس 100 و50 شيكل
لكنك لا تعرف ماذا اخترت
في 100؟ في 200؟
إذا اخترت 100، فلديك إما X أو 2X
إذا اخترت 200، فلديك إما X أو X/2
ولذلك، فإن الخيارات الثلاثة تدخل المعادلة
لا تنس أننا نتعامل مع الإحصائيات
هذه احتمالات نظرية، وليس ما يحدث بالفعل
في الواقع، خطأ. محتاج 3 احتمالات والفرصة تزداد. وهو 2 حقا لا تغيير.
ميكو، هنا هو خطأك.
وحقيقة أنك لا تعرف المبلغ لا يزيد من عدد إمكانياته.
هنا هو خطأك
أنت لا تعرف ما هو المبلغ، لذلك يمكن أن يكون هناك 3 قيم بالضبط هنا
XX/2 و2X
سمع
بافتراض أن X = 100 واخترت المظروف الأكبر بين الاثنين، فالمظروف الثاني يحتوي على X/2 وبالتالي 50
وبافتراض أن X = 100 واخترت الظرف الأصغر بين الاثنين، فإن الظرف الثاني يحتوي على 2X، وبالتالي 200
مطالبتك صحيحة إذا كنت تعرف المبلغ وتعرف أي الأظرف تختار
بالفعل في عرض المفارقة، ودون الخوض فيها، يرى المرء أن المفارقة تنبع من عرض غير صحيح للمشكلة.
في التحليل الأولي للمفارقة، يتعلق الأمر بثلاثة مبالغ - 50 و100 و200، بينما في الواقع لا يوجد سوى مبلغين فقط.
تتيح لك أن تأخذ