فصل من كتاب "حدسية بوانكاريه"

بيتاه دافار والفصل الأول من كتاب حدسية بوانكاريه بقلم: دونال أوشيه، دار نشر آرييه نير. من الإنجليزية: إيمانويل لوتيم

بإذن من الموقعספרים TEXT

لقد ترك لنا هنري بوانكاريه، العملاق الرياضي الذي عاش في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، لغزا مستمرا له آثار على الشكل المحتمل للكون. وكانت فرضيته، التي تمت صياغتها في عام 1904، حجر عثرة أمام علماء الرياضيات العظماء، الذين لم يتمكنوا على مدى أجيال من إثباتها أو دحضها.

في عام 2000، عرّف معهد كلاي للرياضيات نظرية بوانكاريه بأنها واحدة من الألغاز السبعة الكبرى والحيوية في الألفية الجديدة، وعرض مكافأة قدرها مليون دولار لحلها.

صدم عالم الرياضيات الروسي جريجوري بيرلمان، الذي يبتعد عن الأضواء، عالم الرياضيات في عام 2002، عندما نشر حله على الإنترنت وليس في مجلة خاضعة لمراجعة النظراء. وبعد سنوات من الاختبارات الصارمة من قبل عدة فرق من علماء الرياضيات، تبين أن حله يقف صامداً في وجه أي محاولة لدحضه، وهو الآن يفتح آفاقاً جديدة في عالم الرياضيات.

عن الكتاب

إن فرضية بوانكاريه هي القصة الرائعة للشخصيات والتقاليد والمؤسسات التي أدت لمئات السنين إلى إثبات بيرلمان الدرامي، والتي أدت في هذه العملية إلى توسيع معرفتنا بكيفية عمل الكون. يفتح الكتاب نافذة لإلقاء نظرة مفيدة على قلب بحثنا المستمر عن الحكمة.

نهاية الكتاب هي قصة تشويق بكل معنى الكلمة، قصة المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في مدريد عام 2006، والذي حصل خلاله بيرلمان على جائزة فيلدز المرموقة - وقد رفضها على الفور، بحجة أن لم يكن لديه مصلحة في الظهور أمام الجمهور.

يحدد دونيل أوشي، عالم الرياضيات المتعلم وأستاذ الكتابة، مسار نظرية الهندسة من البابليين القدماء إلى رواد الرياضيات اليوم، وهو المسار الذي أدى إلى تخمين بوانكاريه الشهير، ويصف الرائعة والمذهلة محاولات تنافسية لتسوية ذلك.

يتمتع أوشي بموهبة خاصة في توضيح المفاهيم الرياضية المعقدة لعامة الناس، وبفضله يبث الحياة في إنجازات بوانكاريه، وبرنهارد ريمان، ووليام ثورستون، وريتشارد هاميلتون وآخرين - شخصيات غيرت روحها وجه العالم. الرياضيات في المئة سنة الماضية.

أوشي هو عميد الكلية ونائب الرئيس للشؤون الأكاديمية في كلية ماونت هوليوك، حيث يشغل أيضًا كرسي إليزابيث تي كينان في الرياضيات. قام بتأليف كتب ودراسات في مجاله المهني، وظهرت مقالاته البحثية في عدد لا يحصى من المجلات والمختارات. أوشيه هو عضو في جمعية الرياضيات الأمريكية، والاتحاد الرياضي الأمريكي وجمعيات الرياضيات الكندية ولندن والفرنسية. يعيش في جنوب هادلي، ماساتشوستس.

"إن تاريخ نظرية بوانكاريه هو قصة أحد أهم المجالات في الرياضيات الحديثة. يروي دونال أوشي القصة بأسلوب ترفيهي ومفيد في نفس الوقت - المفاهيم والقضايا والأشخاص الذين حدث كل شيء بفضلهم. ينصح به بشده." كيث ديفلين، جامعة ستانفورد

فرضية بوانكاريه، البحث عن شكل الكون لدونال أوشيه، نشر أرييه نير، من الإنجليزية: إيمانويل لوتيم، المحرر العلمي للترجمة: أور موشيه شاليط.

مقدمة
يتناول هذا الكتاب مشكلة واحدة فقط. منذ أن صاغها عالم الرياضيات الفرنسي اللامع هنري بوانكاريه، قبل أكثر من قرن من الزمان، أذهلت هذه المشكلة علماء الرياضيات وعذبتهم، حتى تم حلها - مؤخرا فقط. تتعلق فرضية بوانكاريه بالأشياء التي تكمن في قلب فهمنا لأنفسنا وللكون الذي نعيش فيه.

أكتب هذا الكتاب للقارئ الفضولي الذي يتذكر القليل من الهندسة من المدرسة الثانوية، ولكن ليس أكثر من ذلك بكثير - على الرغم من أنني آمل أن يستمتع به أيضًا أولئك الذين لديهم خلفية رياضية أكثر ثراءً. إذا واجهت فقرات يصعب فهمها، يمكنك تخطيها دون خوف والاستمرار من حيث تصبح القراءة سهلة مرة أخرى.

اذهب إلى أي مقهى. الجلوس بجانب شخص ما على متن الطائرة استمع إلى ما يقوله جيرانك عن الرياضيات. البعض يحبها، لكن الكثيرين لا يفكرون بها باعتزاز، وما يقولونه عنها يبدو سيئًا.

ويقتنع البعض أنهم غير قادرين بحكم طبيعة خلقهم على التحكم فيه. يحتقرها البعض، ويكرهها الكثيرون من أعماق قلوبهم، مع الرغبة في الحب بلا مقابل.

كيف يمكن لموضوع واحد، لديه مثل هذه الوفرة من الجمال، أن يسبب ردود أفعال مختلفة عن بعضها البعض؟ أعتقد أن جزءًا من النفور الذي يشعر به بعض الناس تجاه الرياضيات يأتي من الخوف، وأنا لا أخدع نفسي بأن هذا الكتاب وحده لديه القدرة على تغيير ذلك.

لكن إذا لم يكن لديك رأي قوي ضد الرياضيات، آمل أن يحفزك هذا الكتاب على قراءة المزيد؛ وإذا كنت طلابًا أو طلابًا، وتفكر في مواصلة طريقك، فقد تجد أنه يجب عليك الالتحاق ببعض الوحدات أو الدورات التدريبية الإضافية في الرياضيات.

أتمنى مخلصًا أن تستمتع بقراءة ما يلي بقدر ما استمتعت بكتابته.

دونال أوشيه

فرضية بوانكاريه | كامبريدج، أبريل 2003

في الرياضيات، الثورات تجري بهدوء. لا اشتباكات عسكرية ولا مدافع. مقالات قصيرة في الصحافة، تحت أي ظرف من الظروف على الصفحة الرئيسية. بعيدًا عن لفت الأنظار. وهكذا كان الأمر في فترة ما بعد الظهر المظلمة من يوم الاثنين الموافق 7 أبريل 2003، في كامبريدج، ماساتشوستس، في الولايات المتحدة.

احتشد الصغار والكبار في قاعة المحاضرات في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا (MIT). جلسوا على الأرض وفي الممرات. وقفوا وراء. كان المحاضر، وهو عالم رياضيات روسي يدعى غريغوري بيرلمان، يرتدي بدلة داكنة ممزقة وحذاء رياضي، يسير ذهابًا وإيابًا أثناء تقديمه. كان ملتحياً وأصلع، وله حواجب كثيفة وعينين داكنتين ثاقبتين. فحص الميكروفون وبدأ بتردد: "أنا لست قويًا في الكلام الخطي، لذا سأضحي بالوضوح من أجل روح الأشياء". مرت موجات من الابتسامات المسلية على الحضور وبدأت المحاضرة. أمسك المحاضر بيده قطعة ضخمة من الطباشير الأبيض وكتب على السبورة معادلة رياضية قصيرة عمرها عشرين سنة: اسمها معادلة تدفق ريتشي، وهي تتعامل مع انحناء الفضاء كما لو كان شكلاً غريبًا من أشكال الحرارة، وهو نوع من الحمم المنصهرة التي تتدفق من المناطق ذات الانحناء الأعلى وتسعى جاهدة للانتشار على المناطق ذات الانحناء الأقل.

طلب بيرلمان من مستمعيه أن يتخيلوا الكون كعضو واحد في مجموعة رياضية مجردة ضخمة من جميع الأكوان الممكنة. وأعطى المعادلة تفسيرا جديدا، وكأنها تصف هذه الأكوان المحتملة في الحركة، مثل قطرات الماء المتساقطة على جوانب التلال العظيمة في منظر طبيعي واسع. أثناء حركة كل عضو، يتغير الانحناء داخل الكون الذي يمثله، ليقترب من قيم ثابتة في عدة مناطق. في معظم الحالات، تطور الأكوان هندسة مناسبة: بعضها مماثل للهندسة الإقليدية التي تعلمناها في المدرسة، وبعضها مختلف تمامًا. لكن بعض المسارات المؤدية إلى أسفل المنحدر تسبب مشاكل: فالأعضاء التي تتحرك على طولها تتطور إلى مناطق خبيثة رياضيا، والتي تنقطع فوق بقية المناطق، إن لم تكن أسوأ. ليس سيئا، طمأن المحاضر مستمعيه، يمكننا تحويل مثل هذه المسارات؛ لقد رسم مخططًا يوضح كيفية القيام بذلك.

انجذب الجمهور إلى المحاضرة من خلال مقال نشره بيرلمان على موقع إلكتروني في نوفمبر من العام السابق. في الفصل الأخير من المقال، قدم بيرلمان حجة مفادها أنه إذا ثبت صحتها بالفعل، فسيكون قادرًا على إثبات التخمين الأكثر شهرة والأكثر مراوغة والأجمل في كل الرياضيات. تم تقديمه في عام 1904 من قبل هنري بوانكاريه، أعظم عالم رياضيات في عصره وواحد من أكثر الموهوبين على الإطلاق: حدسية بوانكاريه هي تخمين جريء يتعامل مع الشكل المحتمل لكوننا، لا أقل ولا أكثر.

ومع ذلك، فإنه ليس سوى تخمين. إن السعي لإثبات ذلك أو دحضه أعاق علماء الرياضيات من قوى الجاذبية لأغنية صفارات الإنذار، وجعلها المشكلة الأكثر شهرة ليس فقط في الهندسة والطوبولوجيا، ولكن أيضًا، كما يمكن للمرء أن يقول، في جميع الرياضيات. مشكلة واحدة فقط بجانبها كانت مشابهة لها في السمعة التي حصلت عليها - "فرضية ريمان". في مايو 2000، أعلن معهد كلاي، وهو مؤسسة مهمتها تعزيز ونشر المعرفة الرياضية، عن "سبعة آلاف مسألة"، وعرض جائزة قدرها مليون دولار لأي شخص يستطيع حل واحدة منها. استشار المعهد العديد من علماء الرياضيات عندما قام بتجميع القائمة، ومن المثير للدهشة أن فرضية بوانكاريه وفرضية ريمان كانتا الفرضيتين الوحيدتين اللتين ذكرهما كل واحد من هؤلاء الاستشاريين.

يجب الافتراض أن أكثر من نصف الحاضرين في القاعة جربوا حدسية بوانكاريه في وقت أو آخر. جميع مستمعي المحاضرة، حتى واحد - بدءاً بالشاب الملعون البالغ من العمر ثلاثين عاماً وشعره المجعد والذي يكتب ملاحظاته باللغة الصينية، أو الشقراء التي ترتدي قميصاً ضيقاً وتنورة قصيرة جداً، وانتهاءً بالملابس الرياضية. اكتب بنطال الركض القذر والقميص المبلل، أو الرجل الثمانين الذي يركض ببصره والذي كانت سترته المحافظة ملطخة بغبار الطباشير منذ عقود - كان الجميع يعلمون دون أدنى شك أنهم كانوا حاضرين في أحد لحظات عظيمة من تراث عمره ثلاثة آلاف عام. لقد تم تناقل الرياضيات التي تم الحديث عنها بعناية من جيل إلى جيل، ومن عصر إلى عصر، عبر أيام الثراء الكبير وأيام الفقر المدقع، بدءاً بذلك البابلي المجهول الذي أعطانا مساحة الدائرة، وصولاً إلى الكمال الدقيق إقليدس، وإلى ازدهار الهندسة والطوبولوجيا في المائتي عام الماضية.

وبعد أسبوعين وإلقاء بضع محاضرات، في الحرم الجامعي الأكثر أهمية في جامعة ولاية نيويورك، في ستوني بروك، حدثت رؤية مماثلة. وكانت قاعة المحاضرات أكثر ازدحاما، وهذه المرة كان هناك العديد من الصحفيين في الغرفة. سمع المراسلون أن بيرلمان قد توصل إلى اكتشاف مذهل حول شكل الكون، وأنه قد يفوز بجائزة مليون دولار نتيجة لذلك. وسمعوا أيضًا عن حياته المهنية التي يكتنفها الضباب - كيف اختفى عن الأنظار قبل عشر سنوات، وهو رجل لامع بكل المقاييس، ولكنه أيضًا رجل لم يتم الوفاء بوعده أبدًا. انطفأت مصابيح الفلاش. "لا تفعل ذلك،" بصق بيرلمان بغضب واضح.

أجاب عالم الرياضيات بصبر على جميع الأسئلة التي طرحها الجمهور في نهاية محاضرته، وهي الأسئلة التي سقطت عليه كوابل من الحجارة. قال صوت من منتصف القاعة: "لكن هذا الحل سوف ينفجر في نهاية المطاف". أجاب بيرلمان: "لا يهم". "يمكننا تقليمه وبدء التدفق مرة أخرى." الصمت، تليها بعض الإيماءات. كان المستمعون حذرين، ونظروا بعناية في ما سمعوه. لقد غيروا رأيهم بشأن ما سمعوه منه لعدة أشهر قادمة، لكن في الوقت الحالي، بدت الأمور واعدة.

الكثير من الرياضيات التي اعتمد عليها بيرلمان لم تخطر بباله قبل ثلاثين عامًا. وكانت الأدوات التقنية التي استخدمها في حدود ما هو ممكن، واعتمدت بشكل حيوي على عمل بعض الحاضرين في القاعة. الغلاف الجوي كان مكهربا. كان الجميع يعلم مدى حساسية حجج المحاضر، ومدى تعقيدها، ومدى سهولة انحرافها عن الطريق الصحيح. كان الجميع يشتاق إلى أن تصمد حججه. وقد ظهر بالفعل موقع على شبكة الإنترنت، تحت إدارة اثنين من الأساتذة من قسم الرياضيات المتميز بجامعة ميشيغان، هما بروس كلاينر وجون لوت. يحتوي الموقع على روابط لمقالات بيرلمان. أضاف علماء الرياضيات في جميع أنحاء العالم ملاحظات وحجج لتوضيح النقاط الغامضة، وقاموا بتوسيع الأجزاء التي بدت مختصرة للغاية بالنسبة لهم.

كان كل علماء الرياضيات تقريبًا، وليس فقط علماء الهندسة بينهم، يعرفون شخصًا كان حاضرًا في المحاضرة، ويتوقعون سماع أشياء منه. معظم الجالسين في القاعة كتبوا قوائم لأنفسهم ولأصدقائهم. اثنان منهم - كريستينا سورماني، الأستاذة الشابة من كلية ليمان، ويائير مينسكي، الذي أصبح فيما بعد أستاذًا في جامعة ييل - قاموا بتحميل قوائمهم على موقع الشبكة، حتى يتمكن الجميع من مراجعتها.

وكما هو الحال في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا، كان من الواضح هنا أيضًا لجميع الحاضرين، صغارًا وكبارًا - باستثناء الصحفيين - أن ما كانوا يسمعونه كان إنجازًا لأكثر من مائة عام من الازدهار الرياضي - أعظم ازدهار عرفه التفكير الرياضي منذ القرن العشرين. وجود الجنس البشري. وقد تطلبت المحاضرة الاهتمام الكامل من مستمعيها، وعدم ترك مجال للأفكار الضالة. ومع ذلك، لا بد أن الكثيرين قد تأملوا في حدث أو مقال لا يُنسى، سواء مؤخرًا أو منذ عدة أيام، وكان مرتبطًا بعمل بوانكاريه؛ وربما تذكرنا شخصًا ربما توفى منذ سنوات، وفكرنا كم كان سيسعد بسماع هذه المحاضرة. وقد أبدى الجميع على حد سواء إعجابهم بهذه الوفرة من الأفكار الجيدة والطرق الواعدة التي تستحق اهتمام المحقق.

لكن الصحفيين أرادوا أن يسمعوا عن المليون دولار. كيف يشعر بيرلمان، في ظل احتمال فوزه بهذا المبلغ الكبير من المال؟ وعندما اتضح لهم تدريجيًا أنه لم يكن مهتمًا على الإطلاق، غيروا اتجاههم وكتبوا عن الروسي المنسحب الذي توصل إلى اكتشاف رياضي مهم، وأضافوا تخميناتهم بأنه قد يرفض الجائزة. أضاف بيرلمان المزيد من التفاصيل في الأيام التالية، في ورش عمل عُقدت على عجل. لكنه رفض جميع طلبات الصحفيين بإجراء مقابلة معه، وعاد إلى سانت بطرسبرغ بعد بضعة أسابيع، دون الاستجابة على الإطلاق لعروض العمل التي أنهالت عليه الجامعات الأمريكية.

يشكل حدس بوانكاريه وبرهان بيرلمان معًا أحد أعظم إنجازات عصرنا؛ لديهم الكثير ليعلمونا إياه عن شكل كوننا. معادلة تدفق ريتشي التي كتبها بيرلمان على السبورة، هي نوع من المعادلات الحرارية، قريبة جدًا من معادلة بلاك سكولز، التي يستخدمها متداولو سوق الأسهم في جميع أنحاء العالم لتسعير خيارات الأسهم والسندات. لكن الانحناء مسألة أكثر تعقيدًا من درجة الحرارة أو المال. كما سيتم شرحه في الفصول التالية، الانحناء هو كيان هندسي يتطلب أكثر من رقم واحد لوصفه، ومعادلة تدفق ريتشي التي استخدمها بيرلمان هي صيغة مختصرة من ست معادلات مترابطة - وهو إنجاز مثير للإعجاب من الأناقة، وهو حل بسيط على ما يبدو معادلة، لكنها تحمل ثراءً مذهلًا. ويمكن مقارنتها، في هذا الصدد، بمعادلة نظرية النسبية العامة لأينشتاين، التي تعبر عن انحناء الزمكان.

حدسية بوانكاريه هي قصة الرياضيات وراء التخمين وإثباته. إن قصة كل تطور رياضي، إذا كانت تستحق اسمها، ليست فقط قصة النتائج، إذ يجب أن نتحدث أيضًا عن الأشخاص الذين جلبوا هذه النتائج إلى العالم. وبقدر ما تلفت الإنجازات في الرياضيات انتباه الجمهور على الإطلاق، فإنها تستحضر صورة رومانسية ونابعة من القلب - العبقري المحبوس في الغرف، حيث يناضل مع الكون اللامبالي ويستخرج القليل من الفهم من يديه. في الواقع، هناك أفراد تظهر رؤاهم من العدم، على ما يبدو، ويتقدمون في هذا المجال لعقود من الزمن في وقت واحد. ولكن على الرغم من كل ألوان العبقرية ورغم كل أسرارها، فإن التقدم في الرياضيات يعتمد أيضًا على آلاف الأشخاص الآخرين، وعلى المؤسسات والمجتمعات التي يعيشون ويعملون فيها. لقد حان الوقت لرواية هذه القصة، مفتوحة على مصراعيها. وتستمر مؤامراتها من بابل قبل ثلاثة آلاف سنة إلى سانت بطرسبرغ، إلى شمال ولاية نيويورك وإلى مدريد الحالية. إنها قصة الاستكشاف والحروب والجمعيات العلمية ونمو الجامعات البحثية، أولاً في ألمانيا ثم في الولايات المتحدة لاحقًا. وهو يتتبع تاريخ الهندسة على مدى خمسة آلاف سنة، ويوثق اكتشاف الهندسة غير الإقليدية وولادة الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية. وتشارك فيها العشرات من الشركات والمؤسسات البشرية، ومئات الأشخاص.

بين المناقشات حول الرياضيات، تتخلل المواد السيرة الذاتية والثقافية والتاريخية. ستكون الرياضيات أكثر من اللازم بالنسبة للبعض وقليلة جدًا بالنسبة للآخرين، ولكن معظم الأشخاص الحاصلين على تعليم ثانوي سيكونون قادرين على التعامل مع المفاهيم الأساسية المدرجة في الكتاب، حتى لو كانوا يعانون قليلاً مع النقاط الأكثر تعقيدًا.

هل يمكن للإنسان أن يفهم ويقدر الرياضيات، وهذه الفرضية الشهيرة، دون أن يقوم بالحسابات بنفسه؟ وللتسهيل على القراء، تم تضمين قائمة بالمصطلحات الرياضية مع تعريفاتها ومذكرات السيرة الذاتية للشخصيات وجدول يصف الأحداث المهمة عبر التاريخ، كما تم تضمين قائمة مراجع وقائمة اقتراحات لمزيد من القراءة في نهاية الكتاب. وأخيرًا، تظهر مرايا المكان للمصادر.

لقد ولد جزء من الرياضيات في الماضي البعيد، منذ آلاف السنين. يعد البحث الرياضي من أقدم الأنشطة التي قام بها الإنسان، حيث يعود تاريخه إلى النجارة والطبخ وتشكيل المعادن. لكن من الناحية العملية فإن كمية الرياضيات المكتشفة منذ عام 1900 أكبر من أي شيء اكتشف منذ فجر التاريخ وحتى ذلك الحين. ولهذا السبب، تتسارع الوتيرة ويتزايد الاعتماد على نظريات رياضية أكثر تفصيلاً ومشاهد للأماكن، حتمًا، مع اقتراب الحبكة من يومنا هذا. يمكنك تخطي الأقسام الرياضية؛ لن يكون هناك امتحان في النهاية. ويمكنك دائمًا العودة، إذا أردت، والتساؤل عن الأشياء التي بدت غير واضحة بالنسبة لك في البداية. ففي نهاية المطاف، لقد خذلت حدسية بوانكاريه أكثر علماء الرياضيات تعلماً على مدى المائة عام الماضية.