أوراكل / ارييل بليشر

قام عالم الرياضيات كين أونو بحل ألغاز قديمة باستخدام أفكار مخبأة في كتابات غير منشورة للعبقري الهندي سرينيفاسا رامانوجان

في صباح أحد أيام السبت من عام 1984، عندما كان كين أونو طالبًا في المدرسة الثانوية، فتح صندوق بريد عائلته في بالتيمور ووجد مظروفًا رقيقًا مثل ورق الأرز، مغطى بطوابع ملونة. كان المظروف موجهًا إلى والده، عالم الرياضيات الياباني المتحفظ. قام أونو الابن بتسليم البريد إلى أونو الأب، الذي نظر إلى أعلى من اللوحة الصفراء التي كان يكتب عليها دائمًا المعادلات ويضع قلمه جانبًا. بلطف، قام بفك ضغط الظرف المختوم وفتح الرسالة بداخله.

"سيدي العزيز،" بدأ. "لفت انتباهي... أنك تبرعت بالمال لإقامة تمثال تخليداً لذكرى زوجي الراحل. أنا سعيد بذلك." ووقعت الرسالة "س. "جاناكي أمل"، التي حددها النقش بالحبر الأحمر الموجود أعلى الرسالة بأنها أرملة "(الراحل) سرينيفاسا رامانوجان (عبقري الرياضيات)".

كانت هذه هي المرة الأولى التي يسمع فيها الشاب أونو عن رامانوجان الأسطوري. رامانوجان، عبقري الرياضيات العصامي من الهند، قدم حججًا غامضة منذ قرن تقريبًا "تبدو كما لو كان من الصعب على المرء أن يصدق صحتها"، كتب ذات مرة جودفري هارولد ("GH") هاردي، عالم الرياضيات البريطاني الشهير الذي عمل معه . ألهم عمله فروعًا رياضية جديدة تمامًا وألمح إلى نظريات أكسبت مخترعيها في عدة حالات وسام فيلدز، وهو المعادل الرياضي لجائزة نوبل.

أونو، الذي أصبح في نهاية المطاف عالم رياضيات، وهو الآن أستاذ نظرية الأعداد في جامعة إيموري، لم ير أي سبب خلال دراسته لإيلاء اهتمام خاص لرامانوجان. وعلى حد علمه، لم يترك "العبقرية الرياضية" وراءه أي رؤى تتعلق بخبرة أونو الفريدة في نظرية الأعداد، والأنماط المعيارية: كائنات مجردة ثنائية الأبعاد يقدرها علماء الرياضيات تقديرًا كبيرًا لتماثلها الرائع.

عاد رامانوجان للظهور مرة أخرى، بشكل كبير، في حياة أونو في عام 1998، عندما كان عمره 29 عامًا. وكان عالم الرياضيات بروس ك. بيرندت من جامعة إلينوي في أوربانا شامبين يقوم حينها بإعداد مختارات من أعمال إيلافي، وعثر على مخطوطة تقول: لم يتلق أي اهتمام تقريبًا. تناول المقال الأنماط المعيارية، فأرسل بيرندت إلى أونو مسحًا رقميًا لها، معتقدًا أنه قد يتمكن من فك بعض الحجج الغريبة التي ظهرت فيها.

بعد أن قرأ أونو ثلثي النص، توقف. وبرسائل أنيقة مثل تلميذ، كتب رامانوجان ستة بيانات رياضية جريئة بدت غريبة تمامًا بالنسبة لأونو، على الرغم من أنها تطرقت إلى مجال خبرته.

كان أونو صاعقة. كان مقتنعا بأن التصريحات كانت خاطئة. "نظرت إليهم وقلت: لا مستحيل. إنه هراء». "

لذلك كان ميله الأولي هو محاولة إثبات خطأ رامانوجان.

خطة التوزيع

كيف وصل رامانوجان إلى معظم الرياضيات التي كتبها؟ هذا السؤال يكتنفه الغموض. لقد علم نفسه من خلال كتاب مدرسي إنجليزي قديم الطراز، وفي منتصف العشرينات من عمره، أثناء عمله كمسؤول حكومي، بدأ بإرسال أفكاره في رسائل إلى علماء الرياضيات في إنجلترا. حصل على إجابة واحدة فقط. جاء هذا الرد من هاردي، الذي كان قد بدأ بالفعل في اكتساب سمعة كأستاذ، ودعا رامانوجان للعمل معه في كامبريدج. بعد ثلاث سنوات فقط في نيشر، أصيب رامانوجان بالمرض خلال فترة التقنين الغذائي التي بدأت في الحرب العالمية الأولى. عاد إلى الهند، وهو يعاني من الهزال والحمى، وتوفي عام 20 عن عمر يناهز 1920 عامًا.

إلى جانب 37 مقالًا منشورًا، ترك رامانوجان وراءه مكتبة صغيرة من الرسائل والمخطوطات غير المكتملة وثلاثة دفاتر ملاحظات مغلفة بالجلد. قام هاردي وآخرون بفحصها ووجدوا أنه أعاد اكتشاف النظريات الكلاسيكية، والقوانين التي تصف كيفية تصرف الأعداد، والتي تم وضعها كتابيًا لأول مرة من قبل علماء الرياضيات الذين كانوا الأقدم في مجالهم. وليس هذا أيضًا، فقد لاحظ رامانوجان أنماطًا إضافية لم يراها أحد من قبل. يجب أن يعرف علماء الرياضيات المهرة كيفية إثبات كل نتيجة بدليل، وهو عبارة عن سلسلة من الحجج المنطقية التي من شأنها إقناع زملائهم بحقيقتها. لكن رامانوجان لم يزعج نفسه. لقد ملأ صفحات تلو الأخرى بقوائم طويلة من النظريات والحسابات التي أجراها في رأسه أو بالطباشير على السبورة، ونادرا ما يتوقف ليشرح كيف وصل إليها. تحتوي الدفاتر الثلاثة وحدها على أكثر من 3,000 استنتاج حول طبيعة الأعداد، والتي سعى علماء الرياضيات إلى إثباتها أو دحضها منذ وفاة رامانوجان.

بدأ بيرندت التنقيب في أرشيف رامانوجان في السبعينيات. وظل الموضوع يشغله بعد أكثر من عشرين عامًا، عندما عثر على المخطوطة التي تحتوي على الأقوال الستة التي لفتت انتباهه، وهي أقوال كان أونو مصممًا على إثبات خطأها. رسمت هذه البيانات خطوطًا بين الأنماط المعيارية وما يسمى بأرقام قابلة للقسمة: سلسلة من الأعداد الصحيحة التي تمثل جميع الطرق التي يمكن من خلالها إضافة أعداد صحيحة أصغر للحصول على الرقم الذي بدأت به. تأتي أرقام القسمة من دالة القسمة، والتي تصف، مثل أي دالة، العلاقة بين شيئين: فهي تتطلب مدخلات معينة، x، ويسترد الإخراج المقابل، و (خ). وظيفة التوزيع، ص (ن)، يحسب مجموعات الأعداد الصحيحة الموجبة التي تضيف ما يصل إلى عدد صحيح معين، n. على سبيل المثال، الدالة p(4) يعطي الرقم 5: 1+1+1+1، 1+1+2، 2+2، 1+3، و4.

قد تبدو دالة القسمة والأرقام التي تنتجها بسيطة ومباشرة، لكن المنظرين ناضلوا لعدة قرون للعثور على أنماط بين هذه الأرقام حتى يتمكنوا من التنبؤ بها، أو حسابها، أو ربطها بوظائف ونظريات أخرى. حقق رامانوجان واحدة من أولى الإنجازات الحقيقية. قام هو وهاردي ببناء طريقة لإيجاد تقريب سريع للأعداد المقسوم عليها. ولاختبار دقة تقديراتهم التقريبية، أقنعوا مدفعيًا بريطانيًا متقاعدًا كان أيضًا معالجًا للحسابات، وهو بيرسي ألكسندر مكماهون (المعروف أيضًا باسم الرائد مكماهون)، بحساب أول 200 رقم قسم يدويًا. تبين أن تقديرات رامانوجان وهاردي كانت مثيرة للإعجاب من حيث دقتها. والأهم من ذلك أن الاطلاع على قائمة مكماهون قاد رامانوجان إلى أحد أشهر تشخيصاته. لقد رتب مكماهون قيمي ص (ن)، بدءا من-n=0، في خمسة أعمدة. لاحظ رامانوجان أن كل قيمة في العمود الأخير، أي كل رقم قسمة يبدأ منp(4) يقبل القسمة على 5، وأثبت أن هذا النمط يستمر إلى الأبد. لقد كان اكتشافًا صادمًا. تذكر أن الانقسامات موجودةاتصال أعداد. ولم يتصور أحد أن لهم خصائص تنطوي على القسمة.

رأى رامانوجان أن هناك عدة أنماط أخرى مشابهة لهذا. لقد أثبت، على سبيل المثال، أن كل عدد يقبل القسمة على سبعة، بدءاً بـp(5) يقبل القسمة على 7. وكذلك أي عدد يقبل القسمة على أحد عشر ابتداء منp(6) يقبل القسمة على 11. وبشكل غامض، تتوقف "تطابقات رامانوجان" عند هذا الحد. "يبدو أنه لا توجد خصائص أخرى متساوية في البساطة لأي معامل آخر يتضمن الأعداد الأولية، باستثناء هذه"، كتب رامانوجان في ورقة بحثية عام 1919، في إشارة إلى الأعداد الأولية 5 و7 و11.

بعد وفاة رامانوجان، تساءل علماء الرياضيات عما إذا كانت الأقسام قد تحتوي على بعض الخصائص غير البسيطة، وحاولوا العثور عليها. ومع ذلك، بحلول نهاية التسعينيات، لم يتمكنوا من العثور على أكثر من حفنة من التطابقات الإضافية التي تتضمن أعدادًا أولية عشوائية ظاهريًا أو قواها، مثل 90، 29³ و 23⁶. لقد بدأوا يشكون في أن مثل هذه الأنماط قد تكون غير متوقعة ونادرة جدًا.

ولكن بعد أن واجه أونو تلك البيانات الستة المنسية من مخطوطة رامانوجان، خطر بباله أن هذه الشكوك قد تكون خاطئة تمامًا. لقد اعتقد علماء الرياضيات منذ فترة طويلة أن أرقام الأقسام ترتبط فقط بمجموعة فرعية صغيرة من الأنماط المعيارية. ولدهشة أونو، ربطت تصريحات رامانوجان الستة بين المجالين بطريقة عميقة لم يتوقعها أحد من قبل.

لم يسجل رامانوجان البراهين، لذلك لم يتمكن أونو من تحديد الأخطاء بشكل مباشر في منطق الارتفاع. ولذلك قرر إدخال بعض الأرقام في الصيغ التي أدرجها رامانوجان في تصريحاته، على أمل أن تكشف هذه الأمثلة عن أي عيوب. لكن الصيغ نجحت في كل مرة. "لا يصدق!" قال أونو في نفسه. لقد أدرك أن رامانوجان ربما كان على حق "لأنه من المستحيل على شخص ما أن يكون مبدعًا بما يكفي ليتوصل إلى شيء كهذا ويكون صحيحًا 100 مرة، إلا إذا كان يعرف دائمًا سبب صحة هذه الصيغة". ثم أغمض عينيه وفكر بكل قوته في ما لم يستطع أحد غير رامانوجان أن يفهمه.

عرف أونو أنه في الأنماط المعيارية "تتناثر الكثير من التطابقات"، وهي نفس أنماط القسمة التي وجد رامانوجان بعضًا منها بين أرقام القسمة. عندما تعمق أونو في العبارات الستة، خطر بباله أنه إذا فكر في وظيفة التقسيم كنمط معياري مقنع، فيمكنه إثبات صحتها.

وجاءت فكرة أخرى بعد ذلك مباشرة: لقد أدرك، وهو يضحك بصوت عالٍ، أنه مع بعض التعديلات، يمكن للنظريات التي طورها بنفسه حول الأنماط المعيارية أن تكون أدوات قوية لن تؤكد عبقرية رامانوجان فحسب، بل ستساعد أيضًا في رفع الغطاء عن الأسرار العميقة. فيما يتعلق بوظيفة التوزيع. يتذكر أونو قائلاً: "كان الأمر أشبه بالحصول على تلسكوب جديد رائع". "بمجرد أن يصبح الأمر بين يديك، إذا بدأت بمسح الفضاء - عندما تكون النجوم في هذا الفضاء هي أرقام التقسيم - فسوف ترى أن هناك العديد والعديد من المجرات."

وهكذا، تمكن أونو من إثبات أن التطابقات التوزيعية ليست نادرة على الإطلاق. افترض علماء الرياضيات أنه لا يوجد سوى عدد قليل من التطابقات بعد 5 و7 و11. ولكن في الواقع، كما اكتشف أونو، هناك عدد لا حصر له منهم.

وأشاد زملاء أونو باكتشافه ووصفوه بأنه رائد. لكنه لم يكن راضيا. وعلى الرغم من أنه يستطيع إثبات أن التطابقات التوزيعية موجودة في كل زاوية، إلا أنه لا يستطيع تحديد أين يمكن العثور عليها. إذا قمت بترتيب أرقام القسمة، فقد ترغب في معرفة متى سيحدث التطابق. إذا رأيت تطابقًا واحدًا، فهل يمكنك التنبؤ بموعد رؤية التطابق التالي؟ لم يكن لدى أونو أي فكرة.

عندما يواجه أونو مشكلة صعبة، يرفض طحنها مرارًا وتكرارًا في رأسه حتى تصبح قاسية مثل العلكة القديمة. إنه يفضل تصنيفها في زاوية ما من رأسه، إلى جانب المشكلات الأخرى التي لم يتم حلها، حتى تعود إلى الظهور. ظلت المشكلة، وهي كيفية التنبؤ بالتطابق التوزيعي، خاملة لمدة خمس سنوات حتى جاء زميله في مرحلة ما بعد الدكتوراه، زاكاري أ. كينت، إلى إيموري في ربيع عام 2010. لقد ظهرت هذه المشكلة في أحد الأيام أثناء محادثة، وسرعان ما بدأوا يتحدثون عنها طوال الوقت، في مكاتبهم، أثناء شرب القهوة والمشي لمسافات طويلة في الغابة شمال أتلانتا.

وشيئًا فشيئًا، بنوا في مخيلتهم بنية فوقية متعرجة ومتشابكة يمكن ترتيب أرقام القسمة فيها بطريقة منظمة. لقد اكتشفوا هذه المنظمة باستخدام أداة نظرية، يطلق عليها علماء الرياضيات اسم المشغل. المشغل المحدد الذي اختاروه يأخذ بعض الأعداد الأولية (على سبيل المثال، 13)، ويختار قوى الرقم (13²، 13³ وهكذا) وتقسيمها إلى أرقام القسمة. ومن المثير للدهشة أن الأرقام التي يصدرها تتبع بنية كسرية: فهي تتكرر بأنماط متطابقة تقريبًا بمقاييس مختلفة، مثل فروع ندفة الثلج. توضح هذه النتيجة أن أرقام القسمة ليست مجرد سلسلة عشوائية من الأرقام ذات تماثلات عشوائية متناثرة داخلها دون أي ترتيب. بدلًا من ذلك، تتمتع هذه الأرقام بـ "بنية داخلية جميلة"، كما يقول أونو، مما يجعلها قابلة للتنبؤ وأكثر روعة في الاستكشاف.

واحتاج أونو وكينت وزميلتهما أماندا فولسوم من جامعة ييل إلى عدة أشهر لتحسين نظريتهما الجديدة. لكنهم نجحوا أخيرًا في إثبات أن تطابقات التوزيع تتصرف بطريقة قابلة للحساب. إنها موجودة لكل عدد أولي ولكل قوة لعدد أولي. ولكن بعد الرقم 11، تصبح الأنماط أكثر تعقيدًا، وربما يكون هذا هو السبب وراء عدم تمكن رامانوجان من تطويرها أبدًا.

قدم أونو وزملاؤه النتائج التي توصلوا إليها في ندوة نظمت خصيصًا لهذا الغرض في إيموري في عام 2011. بعد الندوة، امتلأ صندوق الوارد الخاص بأونو بالتمنيات الطيبة. يقول جورج أ. أندروز، خبير القسم في جامعة ولاية بنسلفانيا: "هذا اكتشاف مثير ومثير للدهشة". "لا أعتقد أنه حتى رامانوجان كان يحلم بها."

إجابات جميلة

أدى استكشاف رؤى رامانوجان إلى قيام أونو بمزيد من الاكتشافات التي قد تكون ذات يوم مفيدة في مجالات خارج نطاق الرياضيات. ومن خلال الجمع بين بصيرة رامانوجان والرياضيات الحديثة، بنى أونو وزملاؤه أدوات حسابية قوية. وبعيدًا عن تعزيز فهمنا للرياضيات البحتة، يمكن أن تؤدي هذه الأدوات إلى طرق أفضل لتشفير بيانات الكمبيوتر ودراسة الثقوب السوداء.

طوَّر أونو مع جان بروينير، من جامعة دارمشتات التقنية في ألمانيا، صيغة لحساب الأعداد الكبيرة بسرعة ودقة، وهي الكأس المقدسة التي لم يتمكن رامانوجان من وضع يديه عليها. يطلق أونو على هذه الآلة الحاسبة اسم "Oracle". ووفقا له، فإن أوراكل ليس فقط قادرا على طحن التقسيمات، ولكن يمكن استخدامه أيضا لغرض دراسة نوع معين من المنحنيات الإهليلجية، والأجسام الهندسية التي تشبه إلى حد ما سطح الطين.

يستخدم خبراء التشفير (خبراء التشفير) منحنيات إهليلجية لإنشاء خوارزميات لتشفير بيانات الكمبيوتر. ويكمن نجاح هذه الأساليب في قدرتها على إنشاء ألغاز رياضية لا يمكن حلها في فترة زمنية معقولة. على سبيل المثال، تعتمد خوارزمية شائعة تسمى RSA [أحد مخترعيها البروفيسور عدي شامير من معهد وايزمان للعلوم - محررين] على صعوبة تحليل منتج مكون من رقمين أوليين كبيرين جدًا إلى عوامله. تستخدم الأساليب الأحدث نقاطًا على منحنى إهليلجي، حيث يصعب تحديد العلاقات بينها. إذا تمكنت أوراكل، أو اكتشافات مماثلة، من تسليط الضوء على اتصالات أخرى أكثر مراوغة، فقد يتمكن علماء التشفير من استخدام هذه المعرفة لبناء أنظمة تشفير أقوى.

كما كشف عمل أونو أيضًا عن أحد أعظم الألغاز في تراث رامانوجان الرياضي. قبل ثلاثة أشهر من وفاته، وهو يتلوى من الألم والحمى، كتب رسالة أخيرة إلى هاردي في إنجلترا. وكتب: "أنا آسف جدًا لأنني لم أكتب لك ولو رسالة واحدة حتى الآن". "لقد اكتشفت مؤخرًا بعض الوظائف المثيرة للاهتمام للغاية، والتي أسميها وظائف "شبيهة بثيتا"... وهي تتناسب مع الرياضيات بجمال لا يقل عن خصائص وظائف ثيتا العادية."

وظائف ثيتا هي في الأساس أنماط معيارية. افترض رامانوجان أنه من الممكن رسم وظائف جديدة تشبه ثيتا، والتي لا تشبه على الإطلاق الأنماط المعيارية ولكنها تتصرف بشكل مماثل بالنسبة لمدخلات معينة تسمى النقاط المفردة. وبالقرب من هذه النقاط، يتم تضخيم ناتج الدالة إلى ما لا نهاية. خذ على سبيل المثال الوظيفة و (س) =1/x, الذي له تفرد عند نقطة ما x=0. كمدخل x الاقتراب أكثر فأكثر من 0، نعم الإخراج، f(x)، يزيد إلى ما لا نهاية. تحتوي الأنماط المعيارية على عدد لا حصر له من هذه النقاط المفردة. شعر رامانوجان بشكل حدسي أنه لكل واحدة من هذه الوظائف، هناك وظيفة تشبه ثيتا لا تشترك معها في نفس النقاط الفردية فحسب، بل تنتج أيضًا مخرجات تطمح إلى اللانهاية بنفس المعدل تقريبًا.

في عام 2002 فقط، تمكن عالم رياضيات هولندي يُدعى ساندر زويجرز من تحديد الدوال الشبيهة بثيتا بشكل رسمي، باستخدام أفكار تم صياغتها بعد عقود من وفاة رامانوجان. لكن علماء الرياضيات لم يشرحوا بعد تصريح رامانوجان بأن هذه الوظائف تحاكي الأنماط المعيارية في نقاطها الفردية.

أخيرًا، قامت الآلية التي تقف وراء أوراكل أونو وبروينييه بحل هذا اللغز أيضًا. استخدم أونو، بالتعاون مع فولسوم وروبرت رودس من جامعة ستانفورد، شركة أوراكل لاشتقاق صيغ لحساب مخرجات الدوال المشابهة لثيتا عندما تقترب من النقاط الفردية. في الواقع، وجدوا أن تخمين رامانوجان صحيح: هذه المخرجات تشبه بشكل ملحوظ المخرجات القريبة من النقاط المفردة المقابلة في الأنماط المعيارية. وفي إحدى الحالات، على سبيل المثال، وجد علماء الرياضيات أن الفرق بينهما كان قريبًا جدًا من 4، وهو انحراف مفاجئ ويكاد لا يُذكر في هذا الكون ذي الأعداد اللانهائية.

بدأ الفيزيائيون مؤخرًا باستخدام وظائف تشبه ثيتا لدراسة خاصية للثقوب السوداء تسمى الإنتروبيا، وهي كمية تقيس مدى اقتراب النظام من الوصول إلى حالة توازن الطاقة المثالي. يعتقد بعض العلماء أن الصيغ القريبة من صيغ أونو قد تسمح لهم باختبار مثل هذه الظواهر بدقة أكبر.

يحذر أونو من الميل إلى المبالغة في التأكيد على التطبيقات المحتملة لعمله. ومثل العديد من المنظرين الآخرين، فهو يعتقد أن الأغراض العملية ليست هي ما يجعل مثل هذه الاكتشافات عظيمة. يقول أندروز: "لا تتوقع أن تمنحنا نظريات كين كمية لا حصر لها من الطاقة الخضراء أو إيجاد علاج للسرطان أو أي شيء من هذا القبيل". في كثير من الأحيان، لا تحتل الاكتشافات الرياضية مكانة مهمة في العلوم والتكنولوجيا إلا بعد مرور بضعة عقود من الزمن. ومن الصعب، وربما من المستحيل، التنبؤ بما سيكون عليه هذا المكان.

لا يزال أونو يتذكر الإثارة المبهجة التي شعر بها عندما رأى لأول مرة تطابقات رامانوجان مكتوبة، ويد والده الثابتة ترسم الرموز الأجنبية على لوحته الصفراء. "لماذا ثلاثة فقط؟" يتذكر السؤال. أجابه والده: "لا أحد يعرف".

عندما يروي أونو قصته، كان يجلس في غرفة طعام عائلته في جورجيا. على الحائط خلفه توجد صورة مؤطرة لنموذج رامانوجان البرونزي الأولي، الذي تم تكليفه به لأرملته بمساعدة تبرعات قدرها 25 دولارًا من والد أونو ومئات من علماء الرياضيات والعلماء الآخرين حول العالم. "لم أتخيل أبدًا، ولا حتى في أعنف أحلامي، أنه سيأتي يوم وسأكون قادرًا على القول "أتعلم يا أبي؟" هذه التطابقات ليست التطابقات الوحيدة، بل بعيدة كل البعد عن ذلك.

__________________________________________________________________________________________________

على دفتر الملاحظات

أرييل بليشر مراسل مستقل يعمل في مدينة نيويورك.

باختصار

كان سرينيفاسا رامانوجان، وهو إيلوي الذي علم نفسه بنفسه، يملأ دفاتر الملاحظات بنظريات الأعداد. هذه النظريات، التي غالبًا ما يكتنفها الغموض، تبين أنها صحيحة وفي النهاية أنتجت مجالات جديدة تمامًا في الرياضيات.

الآن، في جامعة إيموري، حقق كين أونو وزملاؤه بعض الاكتشافات المدهشة من خلال رؤى لم يتم التعرف عليها سابقًا من كتابات رامانوجان غير المنشورة.

لم تساعد هذه الاكتشافات في حل بعض الألغاز الكبيرة حول الآلات الرياضية التي تسمى الوظائف فحسب، بل يمكنها أيضًا تطوير طرق أكثر أمانًا لتشفير بيانات الكمبيوتر وأساليب جديدة لدراسة الثقوب السوداء.

المزيد عن هذا الموضوع

ℓ- الخصائص الإضافية لوظيفة التقسيم. أماندا فولسوم، زاكاري أ. كينت

وكين أونو في التقدم في الرياضيات، المجلد. 229، لا. 3، الصفحات 1586-1609؛

فبراير شنومكس، شنومكس.

وظائف ثيتا الوهمية لرامانوجان. مايكل جريفين وكين أونو ولاري رولين

في وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية، المجلد. 110، لا. 15، الصفحات 5765-5768؛ 9 أبريل 2013. www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3625272

تم نشر المقال بإذن من مجلة ساينتفيك أمريكان إسرائيل