ستة أرجل على الطاولة

تتكون المسألة السادسة عشرة في قائمة هيلبرت من جزأين: الأول تناول المعادلات الجبرية المستوية، والثاني المعادلات التفاضلية المستوية. ركز البروفيسور سيرغي ياكوفينكو، رئيس قسم الرياضيات في معهد وايزمان للعلوم، على حالة معينة من المشكلة السادسة عشر المتناهية الصغر في أطروحته للماجستير تحت إشراف إلياشينكو في جامعة موسكو في الاتحاد السوفيتي

في 8 أغسطس 1900، في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات الذي عقد في باريس، وقف ديفيد هيلبرت، الذي ربما يكون أبرز عالم رياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين، وقدم 19 أسئلة مفتوحة (من قائمة كاملة مكونة من 20 سؤالًا، ومنها ما اختار عدم الإجابة عليه) الحاضر في هذا الحدث). قال هيلبرت: "هذه هي المشكلات التي يجب أن تشغل علماء الرياضيات - والتي سيتم إيجاد حل لها - في القرن العشرين". لقد تم بالفعل حل معظم المشكلات التي طرحها هيلبرت في القرن العشرين، لكن بعضها لا يزال مفتوحًا.

تتكون المسألة السادسة عشرة في قائمة هيلبرت من جزأين: الأول تناول المعادلات الجبرية المستوية، والثاني المعادلات التفاضلية المستوية. في الواقع، الجزء الثاني من المشكلة صاغه هنري بوانكاريه حتى قبل عام 16، ولكن حتى يومنا هذا لم يتم إحراز تقدم كبير نحو حلها. على الرغم من الصعوبة الكامنة في المشكلة، إلا أنه يمكن صياغتها ببساطة نسبيًا: ما عدد الدوائر الحدودية التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة التفاضلية المستوية من درجة معينة؟

ربما يكون هذا هو المكان المناسب للقول إن حلول المعادلة التفاضلية المستوية يتم التعبير عنها بخطوط منحنية في المستوى، والتي لا تتقاطع مع نفسها. عندما يكرر هذا الخط نفسه و"ينغلق"، يطلق عليه دائرة. عادة، جميع الحلول القريبة من الدائرة تدور حولها ذهابًا وإيابًا، وتتضاءل المسافة بينها وبين الدائرة مع كل جولة. في هذه الحالة تسمى الدائرة "دائرة حدودية"، لأنها نهاية جميع الحلول المجاورة لها. تنبع أهمية الدوائر الحدودية من حقيقة أنها لا تعلم عن نفسها فحسب، بل عن جميع الحلول المجاورة لها.

وقد ثبت في النهاية خطأ المحاولات المختلفة لحل المشكلة على مر السنين. التقدم الأكثر أهمية تم إحرازه من قبل علماء الرياضيات يولي إليشينكو وجان أكال، اللذين أثبتا (بشكل مستقل) أن كل معادلة تفاضلية في المستوى لها عدد محدود من الدوائر الحدودية - لكن هذا العمل، الذي كان مشروعًا ضخمًا، لا يزال بعيدًا عن تقديم الجواب على مشكلة هيلبرت. عندما أصبح واضحًا لمجتمع علماء الرياضيات أن المشكلة ككل تقاوم كل الجهود المبذولة لحلها، كرس العديد من علماء الرياضيات طاقتهم للمشكلات الوسيطة "الضعيفة" حيث كانوا يأملون أن يتمكنوا من إحراز تقدم.

بدأ أحد الاتجاهات باقتراح إلياشينكو بالتخلي عن المعادلات التفاضلية العامة في هذه المرحلة والتركيز على المعادلات الخاصة - المعادلات الهاملتونية. تظهر المعادلات من هذا النوع في الصياغات الفيزيائية للأنظمة الميكانيكية، ومن المعروف أنها ذات أهمية خاصة - حيث أنها تتمتع بتوازن طاقة مثالي، وعلى وجه الخصوص، يتبين أنها لا تحتوي على دوائر نهاية على الإطلاق.

ولكن هذا هو مجرد بداية. اتضح أنه حتى أصغر التغييرات عادة ما تنتهك توازن الطاقة في المعادلة، وبعد ذلك تولد الدوائر الحدودية، كما لو كانت من العدم. اقترح إلياشينكو محاولة فهم عدد الدوائر التي يمكن تشكيلها بهذه الطريقة من نظام هاميلتون، أو على الأقل تحديد حد أعلى لعددها. تمت دراسة هذه المشكلة تحت عدة أسماء من قبل باحثين مختلفين، ولكن باسمها الأكثر شيوعًا يطلق عليها "المشكلة السادسة عشر المتناهية الصغر".

ركز البروفيسور سيرهي ياكوفينكو، رئيس قسم الرياضيات في معهد وايزمان للعلوم، على حالة معينة من المشكلة السادسة عشر المتناهية الصغر في رسالة الماجستير التي أشرف عليها إلياشينكو في جامعة موسكو في الاتحاد السوفيتي. ويقول: «منذ ذلك الحين، أعود إلى هذا السؤال مرارًا وتكرارًا. إنها بالنسبة لي بمثابة المنارة التي تجذبني إليها باستمرار." وبعد سنوات، تمكن البروفيسور ياكوفينكو، بالتعاون مع تلميذه ديمتري نوفيكوف، وهو الآن أستاذ في قسم الرياضيات في معهد وايزمان للعلوم، من الحصول على بعض النتائج المتوسطة. لكن الطريق إلى حل المشكلة السادسة عشرة المتناهية الصغر لا يزال مسدودًا.

مرت ثماني سنوات أخرى، وأولئك الذين اختلسوا النظر إلى مكتب البروفيسور ياكوفينكو واجهوا صمت التفكير العميق - وستة أرجل ترتكز بلا مبالاة على الطاولة. أقدام البروفيسور ياكوفينكو والدكتور نوفيكوف وطالب البحث في ذلك الوقت جال بنياميني. "حرب العقول أمام جدار مسدود"، يصفها البروفيسور ياكوفينكو. "لقد كانت الفترة الأكثر إثارة وإثارة في حياتي المهنية."

الدكتور بنياميني: "في أحد الأيام، بينما كنت أتجول في المعهد، كالعادة، فكرت في عمل طالب آخر للبروفيسور ياكوفينكو، الدكتور أليكسي غريغورييف. وفجأة خطرت في بالي فكرة أن الصورة التي رسمها يمكن أن تكون "ملتوية" أو "ممتدة" بطرق مختلفة."

بعد كل جولة وامتداد كان من الممكن فحص أفكار غريغورييف وياكوفينكو ونوفيكوف وآخرين من زاوية جديدة - وفي بعض الأحيان تم اكتشاف معلومات كان من الصعب رؤيتها في المقام الأول. سمحت المعلومات الإضافية التي تم الحصول عليها بهذه الطريقة لعلماء الرياضيات الثلاثة من معهد وايزمان للعلوم بتحديد الحد الأعلى الذي يشكل الحل الكامل للمشكلة السادسة عشرة المتناهية الصغر.

يقول البروفيسور ياكوفينكو: "هذا لا يزال بعيدًا جدًا عن الحل الكامل لمشكلة هيلبرت السادسة عشرة. لكن المشكلة السادسة عشرة المتناهية الصغر ظلت مفتوحة أيضًا لمدة 16 عامًا حتى تمكنا من إيجاد حل لها من خلال تحديد حد أعلى. ويعد هذا العمل أحد أهم التطورات التي حدثت في هذا المجال منذ عدة عقود."