لا تقل أبدًا أبدًا / ديفيد جي هاند

لا ينبغي أن تتفاجأ عندما تحدث أحداث غير محتملة أو معجزات أو حالات غير عادية أخرى، ولا حتى عندما يفوز نفس التسلسل من الأرقام باليانصيب مرتين على التوالي

إن مجموعة من القوانين الرياضية التي أسميها "مبدأ اللااحتمالية" توضح لنا لماذا لا ينبغي لنا أن نتفاجأ بحدوث المصادفات. في الواقع، يجب أن نتوقع حدوث مصادفات مختلفة. وأحد الركائز التي يقوم عليها هذا المبدأ هو "قانون الأعداد الكبيرة حقا". وينص هذا القانون على أنه في حالة وجود عدد كبير بما فيه الكفاية من الفرص، يجب علينا أن نتوقع حدوث كل حدث فريد، بغض النظر عن احتمال حدوثه في كل فرصة بمفردها. في بعض الأحيان نميل إلى الاعتقاد بأن عدد فرص وقوع حدث ما صغير، في حين أن عدد الفرص في الواقع كبير للغاية. وهذا الفهم الخاطئ يقودنا إلى التقليل بشكل كبير من احتمالية وقوع الحدث. في مثل هذه الحالات، نميل إلى الاعتقاد بأن احتمال وقوع الحدث ضئيل، في حين أن احتمال وقوع الحدث مرتفع جدًا، ومن الممكن أن يكون الحدث شبه مؤكد.

كيف يمكن أن يحدث عدد كبير من الأحداث دون أن يلاحظ الناس حدوثها؟ ويمكن لـ "قانون مجموعة الأحداث"، والذي يعد أيضًا أحد ركائز مبدأ اللااحتمالية، أن يفسر هذه الظاهرة. ينص القانون على ما يلي: عدد المجموعات الممكنة من التفاعلات بين العناصر المختلفة في المجموعة يزداد بشكل كبير (أسيًا) مع زيادة عدد الأعضاء في المجموعة. تعد مشكلة "تاريخ الميلاد المشترك" مثالًا معروفًا على ذلك.

مشكلة تاريخ الميلاد الشائعة هي هذه المشكلة الرياضية: كم عدد الأشخاص الذين يجب أن يكونوا في الغرفة بحيث يكون احتمال وقوع عيد ميلاد اثنين منهم في نفس اليوم أعلى من احتمال عدم وجود زوج من الأشخاص يقع عيد ميلادهم في نفس اليوم في نفس اليوم.

الجواب هو 23 شخصا فقط. إذا كان هناك 23 شخصًا في الغرفة، فإن احتمال أن يكون لزوج منهم نفس تاريخ الميلاد أكبر من احتمال عدم العثور على مثل هذا الزوج.

إذا لم تكن تعرف مشكلة تاريخ الميلاد الشائعة من قبل، فربما فاجأتك هذه الإجابة. يبدو الرقم 23 صغيرًا بشكل مثير للريبة. قد تكون الطريقة التي توصلت بها إلى هذا الاستنتاج هي: احتمال وجود شخص معين في الغرفة له نفس تاريخ ميلادي هو واحد في 365. وبالتالي فإن احتمال أن يكون عيد ميلاد أحد الأشخاص الموجودين في الغرفة مختلفًا عن عيد ميلادي هو 364/365. إذا كان هناك n من الأشخاص في الغرفة، وكان احتمال أن يكون لكل فرد من الأشخاص الآخرين، الذين عددهم n-1، عيد ميلاد في تاريخ مختلف عن تاريخي هو 364/365، فإن احتمال أن يكون تاريخ ميلاد كل شخص مختلفًا التاريخ من تاريخي هو 364/365 × 364/365 × 364 /365 ×364/365 ... × 364/365، أي منتج 364/365 في حد ذاته n-1 مرة. إذا كان n يساوي 23، فالنتيجة هي 0.94.

وبما أن هذا هو احتمال عدم وجود تاريخ ميلاد لأي منهم في تاريخ ميلادي، فإن احتمال أن يكون لدى أحدهم على الأقل تاريخ ميلاد مثل تاريخ ميلادي هو 1-0.94 (وهذا يتبع مباشرة من العمل أن هناك احتمالين فقط: إما أحدهما من الأشخاص لديه عيد ميلاد في تاريخي، أو لا أحد منهم لديه عيد ميلاد في تاريخي، لذا يجب أن يكون مجموع الاحتمالات 1). لكن 1-0.94 يساوي 0.06. وهذا احتمال منخفض للغاية.

لكن هذا الحساب خاطئ لأنه لم يُطلب منك حساب هذا الاحتمال، أي احتمال أن يكون لأحد الأشخاص الموجودين في الغرفة نفس تاريخ ميلادك. كان السؤال هو ما احتمال أن يكون عيد ميلاد أحد الأشخاص الموجودين في الغرفة هو نفس تاريخ ميلاد شخص آخر موجود في الغرفة، أي زوج من الأشخاص يحتفلون بعيد ميلاده في نفس التاريخ. تتضمن هذه العملية الحسابية احتمال أن يكون لدى شخص ما في الغرفة عيد ميلاد في تاريخك، وهو الاحتمال الذي حسبناه أعلاه، ولكنه يتضمن أيضًا احتمال أن يكون لدى شخصين آخرين في الغرفة، أو أكثر، عيد ميلاد في تاريخك نفس التاريخ، حتى لو كان مختلفًا عن تاريخك.

هذه هي المرحلة التي يلعب فيها عدد المجموعات الممكنة. بينما لا يوجد سوى n-1 من الأشخاص المختلفين في الغرفة الذين قد يكون عيد ميلادهم في نفس تاريخ عيد ميلادك، إلا أن هناك إجمالي n×(n-1)/2 أزواج مختلفين من الأشخاص في الغرفة. يزداد عدد الأزواج الممكنة بسرعة مع زيادة عدد الأشخاص في الغرفة (ن). عندما يكون هناك 23 شخصًا في الغرفة، يكون عدد الأزواج المحتملة 253، أي أكثر من 10 أضعاف الرقم n-1=22. أي أنه عندما يكون هناك 23 شخصًا في الغرفة، يكون هناك 253 ثنائيًا مختلفًا محتملاً، لكن 22 منهم فقط يشملونك.

نقترب الآن من حساب احتمال عدم وجود زوج واحد من الأشخاص في الغرفة بتاريخ عيد ميلاد مشترك. احتمال أن يكون لدى شخصين عيد ميلاد في تواريخ مختلفة هو 364/365. لذلك، فإن احتمال أن يكون لكل منهما تاريخ ميلاد في تواريخ مختلفة، بالإضافة إلى وجود شخص ثالث في الغرفة يختلف تاريخ ميلاده عن تاريخ ميلاده، هو 363/365 × 364/365. وبالمثل، فإن احتمال أن تكون أعياد الميلاد الثلاثة في تواريخ مختلفة، بالإضافة إلى أن عيد ميلاد شخص آخر، وهو يوم الأربعاء، يقع أيضًا في يوم أربعاء هو 362/365 × 363/365 × 364/365. وإذا واصلنا بهذه الطريقة نجد أن احتمال عدم وجود شخصين في الغرفة يحتفلان بعيد ميلادهما في نفس التاريخ هو: 362/365 ×363/365 ×364/365… ×343/365. هذا الاحتمال يساوي 0.49. ولذلك فإن احتمال أن يكون للعديد منهم نفس تاريخ الميلاد هو 1-0.49، أو بمعنى آخر 0.51، وهو رقم أكبر من النصف.

الفوز في اليانصيب

سننتقل الآن إلى مثال آخر للأحداث التي يبدو احتمال حدوثها منخفضًا على الرغم من ارتفاعه: سحب اليانصيب. في 6 سبتمبر 2009، تم سحب الأرقام 4، 15، 23، 24، 35 و42 بشكل عشوائي في اليانصيب البلغاري. ليس هناك ما يثير الدهشة في هذه السلسلة من الأرقام. على الرغم من أن جميع الأرقام في هذه الأرقام منخفضة، 1، 2، 3، 4 و5، إلا أنها ليست مميزة. بالإضافة إلى ذلك، تتضمن السلسلة زوجًا من الأرقام المتتالية، 23 و24. لكن هذا يحدث بشكل متكرر أكثر بكثير مما يُعتقد عمومًا (على سبيل المثال، عندما يُطلب من الأشخاص اختيار ستة أرقام بشكل عشوائي بين 1 و49، فإنهم يختارون أرقامًا متتالية بشكل أقل تكرارًا مقارنة بالاختيار العشوائي الحقيقي).

الشيء المفاجئ حدث بعد أربعة أيام. في 10 سبتمبر، تم سحب الأرقام 4، 15، 23، 24، 35 و42 في اليانصيب البلغاري، وهي نفس الأرقام التي تم سحبها قبل أسبوع. وتسببت نتائج اليانصيب في نوع من العاصفة الإعلامية في ذلك الوقت. "هذه هي المرة الأولى منذ 52 عامًا من وجود اليانصيب التي يحدث فيها شيء كهذا. نقلت وكالة رويترز للأنباء عن المتحدث باسم اليانصيب البلغاري قوله في مقال نشرته وكالة رويترز للأنباء يوم 18 سبتمبر: "لقد صدمنا بهذه الصدفة الغريبة، ولكن هذا ما حدث بالفعل". وأمر وزير الرياضة البلغاري في ذلك الوقت، سفيلان نيكوف، بإجراء تحقيق. هل يمكن أن تكون عملية احتيال متطورة؟ هل تم نسخ الأرقام بطريقة ما؟

في الواقع، هذه المصادفة المذهلة هي مجرد مثال آخر على مبدأ عدم الاحتمالية، أو بمعنى آخر، فإن قانون الأعداد الكبيرة يتم تعزيزه بالفعل من خلال قانون التركيبات. بادئ ذي بدء، يتم إجراء العديد من اليانصيب في جميع أنحاء العالم. ثانيًا، يتم إجراء اليانصيب مرارًا وتكرارًا بشكل مستمر لسنوات عديدة. لذلك، بشكل عام، هناك العديد من الفرص لتكرار أرقام اليانصيب نفسها. ثالثا، دخول قانون الجمع حيز التنفيذ. عندما يتم سحب أي سلسلة من الأرقام في سحب اليانصيب، فقد تكون نفس سلسلة أخرى من الأرقام التي تم سحبها بالفعل في أي سحب يانصيب سابق. بشكل عام، إذا تم إجراء عدد من عمليات سحب اليانصيب، فهناك عدد n×(n-1)/2 من سحوبات اليانصيب التي يمكن أن تحتوي على نفس سلسلة الأرقام.

سحب اللوتو البلغاري الذي تم تكراره في عام 2009 هو سحب لستة أرقام من أصل 49. وبالتالي، فإن احتمال فوز أي مجموعة من الأرقام هو واحد من 13,983,816. وهذا يعني أن احتمال أن يؤدي زوج معين من سحوبات اليانصيب إلى سلسلة من الأرقام المماثلة لتلك الموجودة في أي سحب يانصيب آخر هو واحد من 13,983,816. ولكن ماذا عن احتمال أن يؤدي أي سحبين من سحوبات اليانصيب الثلاثة إلى نفس مجموعة الأرقام؟ أو من بين 50 سحب يانصيب؟

تحتوي جميع السحوبات الثلاثة على ثلاثة أزواج من الأرقام، ولكن في 50 سحبًا مختلفًا يوجد 1,225 زوجًا محتملاً. ومن هنا يأتي دور قانون التوليفات. إذا واصلنا، نجد أنه في 1,000 يانصيب مختلف يوجد 499,500 زوجًا مختلفًا. بمعنى آخر، إذا قمنا بضرب عدد اليانصيب 20 مرة، من 50 يانصيب إلى 1,000 يانصيب، فإن الزيادة في عدد أزواج يانصيب اليانصيب المختلفة ستكون أكثر حدة: سوف تتضاعف 408 مرات وترتفع من 1,225 إلى 499,500. نحن ندخل عالم الأرقام الكبيرة حقا.

كم عدد عمليات سحب اليانصيب التي يجب إجراؤها لكي يكون احتمال ظهور نفس سلسلة الأرقام مرتين أكبر من 0.5؟ بمعنى أن احتمال حدوث ذلك سيكون أكبر من احتمال عدم حدوثه؟ باستخدام نفس الطريقة التي استخدمناها لتحليل مشكلة تاريخ الميلاد الشائعة، يمكنك أن تجد أن الإجابة هي 4,404 يانصيب.

إذا كان هناك سحبان لليانصيب كل أسبوع، أي 104 سحبًا سنويًا، فسوف يستغرق الأمر أقل من 43 عامًا للوصول إلى هذا العدد. أي أنه بعد 43 عامًا، فإن احتمال أن تؤدي أي يانصيبتين إلى سلسلتين متطابقتين من الأرقام سيكون أكبر من احتمال عدم وقوع الحدث. وهذا يلقي ضوءًا مختلفًا تمامًا على تصريح المتحدث باسم اليانصيب البلغاري بأنه كان صدفة غريبة للغاية!

لكن هذا الحساب لا ينطبق إلا على اليانصيب في بلد واحد. إذا أخذنا في الاعتبار عدد اليانصيب في جميع أنحاء العالم، فسنجد أننا يجب أن نتفاجأ إذا لم يتم سحب نفس سلسلة الأرقام من حين لآخر في يانصيب مختلفة. لذلك، لن تتفاجأ عندما تعرف أنه في سحب اليانصيب الإسرائيلي الذي أجري في 16 أكتوبر 2010، تم سحب سلسلة الأرقام 13، 14، 26، 32، 33، و36، والتي تم سحبها أيضًا قبل بضعة أسابيع، على 21 سبتمبر، تم رسمها. لن تتفاجأ بهذا، لكن بعد إجراء القرعة، غمر المتقدمون محطات الراديو في إسرائيل بدعوى أن نتائج القرعة محددة مسبقًا.

كانت حالة اليانصيب البلغاري غير عادية حيث تم سحب السلسلة المتطابقة في سحبين متتاليين. لكن قانون الأعداد الكبيرة حقا، إلى جانب حقيقة أن العديد من عمليات اليانصيب تقام في جميع أنحاء العالم واحدة تلو الأخرى، يوضح لنا أننا لا ينبغي لنا أن نتفاجأ بشكل خاص. لذلك، بالتأكيد لن تتفاجأ بأن هذا قد حدث بالفعل من قبل. على سبيل المثال، في يانصيب ولاية كارولينا الشمالية، Cash 5، تم سحب نفس مجموعة الأرقام في 9 و11 يوليو 2007.

مثال آخر محبط إلى حد ما على الطريقة التي يمكن أن يتسبب بها قانون المجموعات في تطابق سحوبات اليانصيب المختلفة هو حالة مورين ويلكوكس في عام 1980. لقد اشترت التذاكر التي تحتوي على الأرقام الفائزة لكل من يانصيب ماساتشوستس ورود آيلاند. ولسوء الحظ، فإن الأرقام الموجودة على تذكرة ماساتشوستس تحتوي على الأرقام الفائزة في يانصيب رود آيلاند، والعكس صحيح. عندما يشتري شخص ما 10 تذاكر لسحوبات يانصيب مختلفة، فإنه يضاعف فرص فوزه 10 مرات، لكن عشر تذاكر تعني 45 زوجًا مختلفًا من التذاكر والسحوبات. لذلك، فإن احتمال أن تحتوي إحدى التذاكر على السلسلة الفائزة في إحدى اليانصيب يزيد بأكثر من 4 مرات عن احتمال فوزه باليانصيب. لأسباب واضحة، هذه ليست وصفة لكسب ثروة ضخمة. إن مطابقة تذكرة يانصيب مع الأرقام الفائزة في يانصيب آخر لا يمنحك أي مكافأة، باستثناء الشعور بأن الكون يسخر منك.

ينطبق قانون المجموعات في الحالات التي يتفاعل فيها عدد كبير من الأشياء أو الأشخاص مع بعضهم البعض. لنأخذ على سبيل المثال صفًا مكونًا من 30 طالبًا. يمكنهم التفاعل مع بعضهم البعض بعدة طرق مختلفة. يمكنهم العمل كأفراد، ثم هناك خيار واحد فقط لتقسيمهم إلى 30 مجموعة. يمكنهم العمل في أزواج، ومن ثم هناك 435 زوجًا محتملاً مختلفًا. يمكنهم العمل في ثلاثات، ومن ثم هناك 4,060 احتمالًا مختلفًا. وهكذا، بالطبع، حتى يأتي الخيار الذي يعمل فيه الجميع معًا، وبعد ذلك لا يوجد سوى خيار واحد لتقسيمهم.

في المجمل، يبلغ عدد المجموعات المحتملة التي يمكن للطلاب الثلاثين تشكيلها 30 - أكثر من مليار. بشكل عام، إذا كانت المجموعة تحتوي على n من الأعضاء، فمن الممكن إنشاء مجموعات فرعية 1,073,741,823n-2 منها. إذا كان n = 1، فإن النتيجة هي 100-2100، وهو رقم يساوي تقريبًا 1، وهو رقم كبير بكل المقاييس.

ولكن حتى لو كان الرقم 1030 لا يبدو رقماً كبيراً بالقدر الكافي بالنسبة لك، ففكر في العواقب التي يفرضها القانون على شبكة الإنترنت، التي تضم اليوم أكثر من 2.5 مليار مستخدم، يستطيع كل منهم من حيث المبدأ التواصل مع أي شخص آخر. وهذا يصل إلى 3×1018 زوجًا ممكنًا، و10750,000,000 مجموعة محتملة. حتى الأحداث ذات الاحتمالية المنخفضة للغاية تصبح شبه مؤكدة إذا أتيحت لها مثل هذا العدد الكبير من فرص الحدوث.

لذلك، في المرة القادمة التي تصادف فيها شيئًا يبدو وكأنه صدفة غير عادية وغريبة، تذكر مبدأ عدم الاحتمالية.

______________________________________________________________________________

باختصار

في كثير من الأحيان نميل إلى إسناد احتمالية منخفضة جدًا للأحداث التي تحدث بالفعل حولنا طوال الوقت. يساعد القانون الرياضي للأعداد الكبيرة وقانون مجموعات الأحداث في تفسير هذه الظاهرة.

ويكفي أن يكون هناك 23 شخصًا في الغرفة، بحيث يكون احتمال وقوع عيد ميلاد اثنين منهم في نفس التاريخ هو 0.51. أي أكثر من 50%.

في اليانصيب البلغاري، في 6 سبتمبر 2009، تم سحب سلسلة الأرقام 4، 15، 23، 24، 35 و42 بشكل عشوائي. وبعد أربعة أيام، تم سحب نفس الأرقام الستة. وفي يانصيب كارولينا الشمالية، كاش 5، تم سحب نفس الأرقام في 9 و11 يوليو 2007. غريب؟ ليس وفقا لنظرية الاحتمالات.

حقوق النشر

مقتبس من كتاب "مبدأ اللااحتمالية: لماذا تحدث المصادفات والمعجزات والحالات النادرة كل يوم"، بقلم ديفيد جي هاند، بإذن من ناشري الكتاب Scientific American/Ferrar، Strauss and Giro Ltd. (أمريكا الشمالية)، Transworld (المملكة المتحدة)، Ambo/Anthos (هولندا)، S.H. Beck (ألمانيا)، Compagnie des Letras (البرازيل)، Grupa Videoniceza Foxal (بولندا)، Locus (تايوان)، AST (روسيا). جميع الحقوق محفوظة لديفيد جي هاند © 2014.

عن المؤلف

ديفيد جي هاند هو أستاذ فخري للرياضيات وزميل أبحاث أول في إمبريال كوليدج لندن. شغل سابقًا منصب رئيس الجمعية الإحصائية الملكية. وهو مؤلف كتاب الإحصائيات، مقدمة قصيرة جدًا (مطبعة جامعة أكسفورد 2008).

المزيد عن هذا الموضوع

البلهاء المبارزة وغيرها من الألغاز الاحتمالية. بول ج. ناهين. مطبعة جامعة برينستون، 2000.

التماثل والوحش: واحدة من أعظم أسئلة الرياضيات. مارك رونان. مطبعة جامعة أكسفورد، 2006.

معجزة في شارع الاحتمالية، مايكل شيرمر، صوت المتشككين، مجلة ساينتفيك أمريكان إسرائيل، أكتوبر 2013

تم نشر المقال بإذن من مجلة ساينتفيك أمريكان إسرائيل