لقد وجد اثنان من علماء الرياضيات من جامعة بنسلفانيا حلولًا عامة لم تكن معروفة منذ أكثر من مائة عام لمعادلة التوصيل لبولتزمان - وهي معادلة غير قابلة للحل عمرها 140 عامًا.
البحث المعني هو جزئيًا رحلة تاريخية ولكنه في الأساس دليل رياضي عمل عليه علماء الرياضيات لمدة عامين. أجرى البحث فيليب ت. جراسمان وروبرت م. سلالة من قسم الرياضيات بنسلفانيا.
http://www.math.upenn.edu/~gressman/
http://www.math.upenn.edu/~strain/
http://www.math.upenn.edu/
خلال ستينيات وسبعينيات القرن التاسع عشر، طور جيمس كليرك ماكسويل ولودفيج بولتزمان معادلة التوصيل للتنبؤ بتوزيع المادة في غاز نادر في الفضاء وكيفية استجابته للتغيرات في الكميات مثل درجة الحرارة أو الضغط أو السرعة. في نفس الوقت الذي تجادل فيه بولتزمان مع إرنست ماخ حول حقيقة وجود الذرات والجزيئات، طور معادلات كانت لها القدرة على أن تؤدي إلى تجارب من شأنها أن تكشف عن أدلة على وجود الجزيئات. هذه هي الطريقة التي تحافظ بها معادلة بولتزن على مكانة مرموقة في مجمع العلوم، وذلك فقط لأنها المعادلة التي توفر نموذجًا لسلوك الغاز. إن التنبؤات الناتجة عن المعادلة المتعلقة بسلوك الغاز قد تم دعمها بالفعل من خلال أكوام من التجارب في العديد من مجالات الفيزياء.
إن الثقة الكاملة بالمعادلة والدعم الذي تلقته من التجارب -افتراض أن الغازات تتكون من جزيئات- قادت المجتمع العلمي إلى تبني النظرية بشكل كامل. علاوة على ذلك، قدمت النظرية تنبؤات حاسمة ومهمة، أهمها أن الغازات تميل بشكل طبيعي إلى حالة التوازن في غياب المؤثرات الخارجية. إحدى التجارب المهمة للمعادلة هي أنه حتى عندما يظهر الغاز بالعين المجردة في حالة سكون، فإن هناك نشاطًا جزيئيًا يحتدم على شكل تصادمات. وفي حين لا يمكن ملاحظة هذه الاصطدامات، إلا أنها تفسر درجة حرارة الغاز.
وهنا بدأ علماء الرياضيات في البحث عن برهان وحلول دقيقة للمعادلة. ديفيد هيلبرت، عالم الرياضيات اللامع من غوتنغن، الذي كاد أن يهزم ألبرت أينشتاين في السباق نحو النظرية النسبية العامة، حاول لسنوات إيجاد حلول رسمية لمعادلة التوصيل لبولتزمان، لكن دون جدوى. وهذا يثبت مدى صعوبة إثبات المعادلة بدقة.
لقد أثار اهتمام جراسمان وسترين بمعادلة بولتزمان الغامضة لأنها تصف بشكل جيد سلوك العالم المادي. لكن لا يزال بإمكان ماجيليا إيجاد حلول للغازات التي تكون في حالة توازن مثالي فقط.
استخدم كلا الرياضيين تقنيات من الرياضيات الحديثة في مجال المعادلات التفاضلية الجزئية (طرق من عوامل التفاضل الزائف) والتحليل التوافقي. اعتمد علماء الرياضيات بشكل أساسي على الأساليب التي تم تطويرها في هذه المقالة:
R. الكسندر، Y. موريموتو، S. Ukai، C.-J. شو، وت. يانغ، "مبدأ عدم اليقين والمعادلات الحركية"، J. Funct. شرجي. 255 (2008)، لا. 8، 2013-2066.
وهكذا، تم تطوير معظم التقنيات الرياضية بشكل عام خلال الخمسين إلى الخمس سنوات الماضية، لذا فهذه رياضيات جديدة نسبيًا.
أثبت جراسمان وسترين بمساعدة هذه الطرق وجود حلول كلاسيكية عامة دقيقة لمعادلة بولتزمان واضمحلال سريع في الوقت المناسب إلى حالة التوازن لمعادلة بولتزمان مع التفاعلات طويلة المدى. إن وجود الحلول الكلاسيكية العامة والانحلال السريع في الوقت المناسب لتحقيق التوازن يعني ضمناً أن المعادلة تتنبأ بشكل صحيح بأن الحلول ستستمر في التوافق مع سلوك النظام وليس بعض الكوارث الرياضية. على سبيل المثال، يمكن أن تفقد المعادلة فجأة مصداقيتها الفيزيائية طويلة الأمد نتيجة للتغيير الرياضي الذي سيحدث في المعادلة. يعني الانحلال السريع إلى التوازن أن تأثير الاضطراب الأولي الصغير في الغاز يكون قصير الأجل وسرعان ما يصبح غير محسوس.
يوفر البحث فهمًا متجددًا للتأثيرات الناجمة عن تصادمات التلامس، عندما تتلامس الجزيئات المجاورة ولكن بخفة مع بعضها البعض بدلاً من الاصطدام وجهاً لوجه. وتبين أن تصادمات التلامس هذه هي النوع السائد من التصادمات في معادلة بولتزمان الكاملة مع التفاعلات طويلة المدى.
وقال الباحثون: "يذهلنا أن المعادلة التي حصل عليها بولتزمان وماكسويل في عامي 1867 و1872 تقدم مثالا أساسيا للمشتقات الجزئية الهندسية التي تظهر في نموذج فيزيائي للعالم الطبيعي". وأضاف فيسترين أن "التقنيات الرياضية المخصصة لدراسة هذه الظواهر لم يتم تطويرها إلا في العصر الحديث". وهذا يعني أن بولتزمان وماكسويل كانا عبقريين للغاية في تطوير معادلة منذ مائتي عام تقريبًا، وهي معادلة لا تناسب الحلول الرياضية الحديثة إلا منذ خمس سنوات مضت...
صياغة بولتزمان من عام 1872 في المصدر التالي:
لودفيج بولتزمان، محاضرات عن نظرية الغاز، ترجمة ستيفن ج. برش، مطبعة جامعة كاليفورنيا، بيركلي، 1964.
وصياغة ماكسويل من عام 1866:
جي كليرك ماكسويل، حول النظرية الديناميكية للغازات، المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن 157 (1867)، 49-88.[
تعليقات 38
أبحث عن معادلة تربط الإنتروبيا بالزمن والمعلومات...
وفي نوفمبر 1957 أيضًا، تم نشر المقال الذي كتبه عالمان من قسم الرياضيات التطبيقية بمعهد وايزمان
حل معادلة بولتزمان-هيلبرت التكاملية II.
معاملات اللزوجة والتوصيل الحراري
حل معادلة بولتزمان-هيلبرت II التكاملية لمعاملات اللزوجة والتوصيل الحراري
CL Pekeris وZ. ألترمان
وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم بالولايات المتحدة الأمريكية، 43، 998-1007 (1957)
https://www.pnas.org/content/43/11/998
وفي نوفمبر 1962
القيم الذاتية والوظائف الذاتية لمشغل التصادم بولتزمان الخطي لغاز ماكسويل وللغاز ذو الكرات الصلبة
سي. إل بيكريس، وألترمان زد، فرانكوفسكي ك
سلسلة ملحق الفيزياء الفلكية 7، 291
https://bit.ly/32Hu6iY
بخصوص عنوان "علماء الرياضيات يحلون معادلة بولتزمان التي عمرها 140 عاما هذا العام"
أردت أن ألفت انتباه المحرر والقراء إلى مقال البروفيسور حاييم بيكريس من معهد وايزمان الذي نشر في سبتمبر 1955
حل معادلة بولتزمان-هيلبرت التكاملية
سي إل بيكريس
وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية. 41: 661-9.
https://bit.ly/38OWcgc
الفطيرة كانت كعكة لذيذة؟
الغريب أن بولتزمان انتحر، فشعر بالطبيعة البشرية، وجردنا من قوانين الطبيعة بطريقة علمية. ورجل مثله لم يكن يلهمه إلا البحث العلمي. مساحة عمل بولتزمان تجعل من الممكن رؤية ازدهار الفيزياء اليوم، والتي تسمى "غير الكلاسيكية". الجميع متخلفون، وليس الجميع ينتحر.
ارز،
من الممكن أن أشرح بإيجاز ما يحدث في هذه المناقشة
السؤال هو ما إذا كنت مهتمًا حقًا أم مهتمًا فقط بالتعبير عن استيائك من المناقشة
والله - أتمنى أن أعرف ما الذي تتحدث عنه …….
طازج،
في بعض الأحيان، يمكن أن يؤدي تغيير الثابت الفيزيائي أو المعامل إلى تغيير سلوك المعادلة الخطية إلى الدورية إلى الفوضوية. انظر على سبيل المثال معادلة المفترس والفريسة الشهيرة:
X(t+1)=cXt(xt-1) د
حيث t هي النقطة الزمنية، C هو المعامل.
عندما تكون c=0.5 تتقارب المعادلة خطياً. عندما تكون c=1 تكون دائرية وعندما تكون 2 تكون المعادلة فوضوية بمعنى أنها حساسة للشروط الأولية ولا تكرر نفسها أو تتقارب مع أي قيمة بحيث لا يمكن التنبؤ بدون حساب النقاط على سبيل المثال X عند ر = 2000. من السهل التحقق من ذلك، واستخدام برنامج Excel والمحاولة.
تحميل
نعم هذا انا. وأنا أتفق أكثر مع وصف ليزا لما قلته.
أتفق معك في أنه يمكن أن ينتعش للإجابة على الإجابات التي يُطلب منه، وشخصياً لا أتفق معه في "مبدأ الفراشة" ولكنني حاولت إبداء رأيي فيما يحاول شرحه.
العلم يعرف الفوضى، وهذه هي الخطية في العلم، حيث يختار العلم تعريف كل شيء.
أود أن أعرض مقولة "العالم فوضوي والعلم خطي" في ضوء مختلف قليلاً.
بمعنى ما، هناك عدالة في الأشياء، والمعنى هو:
يختار العلماء المقياس الذي يدرسون فيه الظواهر والمعايير ذات الصلة بفحص كل ظاهرة. عند دراسة تأثير أي إجراء، يمكن فحص عدة جوانب. فلو نظرنا مثلاً إلى تأثير تأرجح كرة في الهواء - على المستوى الذري، فإن هذا الإجراء سوف يسبب تفاعلاً متسلسلاً يؤدي إلى تأثير ذرات الكرة على ذرات الهواء مما سيؤثر على الذرات الأخرى (الخاص بي، من الجدول المجاور لي، وما إلى ذلك، وما إلى ذلك). إذا لم أرجح الكرة فلن يحدث هذا الإجراء. أي أنه على المستوى الذري، سيكون العالم عالمًا مختلفًا تمامًا إذا رفعنا الكرة وإذا لم نرفعها.
ونحن لا نلاحظ ذلك لأنه على مستوى وصفنا للعالم، فإن الشيء ليس له أي تأثير مادي. لكن هذا مجرد اختيار تعسفي لمستوى وصف الظواهر.
وبهذا المعنى فإن العلم هو الذي يجعل خطيًا.
من المحتمل جدًا أنه بالنسبة للظواهر التي نسميها حاليًا فوضوية (مثل الطقس)، ستجد في المستقبل مستوى مناسبًا من الوصف (الذي ينظر إلى معلمات معينة غير معروفة حاليًا) حيث لا تكون الظاهرة فوضوية.
أي أن مسألة ما إذا كانت الظاهرة فوضوية أم لا ترتبط بالطريقة التي نختارها لوصفها
مجهول (R*h رافا*im؟)
لا أستطيع أن أتحدث باسم رعنان، ولكننا سوف نفحص الادعاء بأن "العالم فوضوي والعلم خطي".
أولا، العلم ليس خطيا! نظرية الفوضى هي جزء من العلم وهي تحدد ما هي الفوضى! ثانيًا، العلم يصف العالم، وبالتالي يجب أن يكون له نفس خصائص العالم. الادعاء الصحيح هو أن معظم الظواهر تحدث في وقت قريب جدًا بطريقة خطية. حقيقة أننا نستطيع وصف جزء كبير من العالم من حولنا باستخدام قوانين نيوتن، ومعادلات بولتزمان، ومعادلات ماكسويل، ومعادلات شرودنغر كلها معادلات خطية! يشير نجاح هذه المعادلات في وصف العالم إلى أن العالم من حولنا خطي إلى حد كبير. يمكن إهمال التصحيحات الخطية التي غالبًا ما نهملها. في أنظمة معينة جدًا، لا يمكن إهمال الاضطرابات الصغيرة في الظروف الأولية، وعادةً ما تكون هذه أنظمة معقدة مثل الطقس، ولكن ليس بالضبط. هذه الأنظمة حساسة للاضطرابات الصغيرة.
سننظر حولنا ونحاول تقدير عدد الأنظمة التي نواجهها كل يوم والتي لا يمكننا حسابها.
وفقا لادعاء رعنان، فإن أي وجود اضطراب صغير يخلق "تأثير الفراشة"، وأفترض أن رعنان لا يطير في الطائرات
لأن الفراشات في أستراليا يمكن أن تتسبب في تحطم الطائرة. رعنان لا يقود سيارة لأن الرياح يمكن أن تحولها عن مسارها ويدرك رعنان أن العالم لا يمكن أن يكون موجودًا منذ مليارات السنين لأن أي اضطراب صغير كان من شأنه أن يلقي به في الشمس أو بعيدًا عنها منذ فترة طويلة. ربما في حالة السيارات والطائرات يعارض السائق والطيار تأثير الفراشة وماذا عن مدار الأرض. ولم يبق خيار للتحديث سوى افتراض أن الله يتولى تصحيح التأثيرات الفوضوية.
إذا فهمت رعنان بشكل صحيح، فهو يعني أن العالم فوضوي والعلم خطي. لا؟
طازج،
المعادلة التالية ليست خطية:
Y=AX^2+BX+C (وصف عام للمسار المكافئ)
ليست معادلة خطية هل تعتقد أنها فوضوية؟
اصدقاء:
هذا الطازج مجرد متخلف وهو عار على كل حرف يُعطى له.
لا شك أنه بعد هذه الإجابة المدروسة الجادة والمقنعة والعميقة، لم يكن أمامي خيار سوى الاعتراف بخطئي والاعتزال في دير بوذي حيث يمكنني الهروب من العار الذي سيكون نصيبي في أي مكان آخر...
نعوم وزفي
أنت مخطئ.
طازج
أنت مخطئ تماما في معظم تصريحاتك. أنصحك بإعادة قراءة الحوار بين إيهود وياعيل (الذين يفهمون ما يتحدثون عنه) وكذلك ردود إيهود عليك لأنني أعتقد أنه يمكنك تعلم شيء منهم.
ومع ذلك، فإن كل نظام فيزيائي له تأثيرات مختلفة لا حصر لها. عادةً ما يكون معظمها غير مهم (تأثير الجاذبية لنجم معين في أندروميدا على البندول الرياضي) ويمكنك العمل بتقديرات من شأنها أن تعطي نتائج دقيقة بشكل لا يصدق - في كثير من الحالات، يمكنك العمل باستخدام المعادلات الخطية والحصول على نتائج دقيقة إلى حد ما ، في بعض الأحيان لا يمكنك ذلك، ثم يتعين عليك العمل مع المعادلات الخطية غير الخطية.
المعادلات غير الخطية ليست ضمانة لخلق الظواهر الفوضوية. هناك العديد من الأنظمة الفيزيائية التي توصف بمعادلات غير خطية والتي ليست فوضوية على الإطلاق، وفي الواقع يعتمد حلها في كثير من الأحيان على حقيقة أنه على مدار أوقات طويلة بما فيه الكفاية تتقارب الحلول مع حلول من نوع معين (على عكس تمامًا فوضى).
مجموعة أخرى من الأنظمة تتضمن حساسية كبيرة جدًا للظروف الأولية، وهي أنظمة فوضوية ويحدث فيها نفس تأثير الفراشة. هذا لا يعني حقًا أن كل نظام فيزيائي يحافظ على هذا التأثير ولن يتفق معك أي فيزيائي على بيانك بأن هناك "مبدأ تأثير الفراشة" وأن كل نظام فيزيائي هو في نهاية المطاف فوضوي.
إن تأثير الفراشة هو تشبيه مبسط وغير دقيق يوضح فكرة تكون صحيحة في بعض الأحيان فقط (في هذه الحالة، لا أعتقد ذلك نوعًا ما).
طازج،
أنت فقط لا تفهم!
هناك ظواهر خطية، وهناك ظواهر غير خطية، وهناك ظواهر فوضوية.
ليست كل ظاهرة غير خطية فوضوية - فإيهود شرحها لك أيضًا وأنت ترفض الفهم (أو القراءة).
لماذا لا تقضي بعض الوقت، وتحاول أن تفهم الأمر قبل أن تربك حيرتك الآخرين؟
في ظاهر الأمر، يبدو أن بعض الفيزياء تعمل بشكل خطي، ولكنها في الواقع خطية تقريبًا وبالتالي فهي في الواقع فوضوية.
طازج
بداية، نحن لا نتحدث عن الظواهر، المقال يتحدث عن المعادلات:
“علماء الرياضيات يحلون معادلة بولتزمان البالغة من العمر 140 عامًا هذا العام”.
أبعد من ذلك، ليست كل ظاهرة فيزيائية فوضوية. ولو أن كل الظواهر في الكون موصوفة على
من خلال المعادلات غير الخطية، هذا لا يجعلها فوضوية، فهناك مناطق في فضاء الطور تتواجد فيها
يعمل التقريب الخطي بشكل جيد وهناك مناطق لا يعمل فيها. انظر حولك فالكون ليس فوضوياً نحن
قادر على حساب الأمور للأمام والكثير من الفيزياء تتصرف بشكل خطي.
تحميل
كل ظاهرة فيزيائية في الكون فوضوية، لا يوجد شيء خطي في الواقع، الخطية تجعل الحساب أسهل للحصول على تقريب، وبالتالي فإن تأثير الفراشة ينطبق على كل شيء في الكون وليس الطقس فقط.
طازج
لا يوجد شيء اسمه مبدأ تأثير الفراشة! يتحدث تأثير الفراشة عن أنظمة فوضوية تعتمد على معادلات غير خطية. في نظام المعادلات الخطية، يكون رد الفعل على الاضطراب متناسبًا مع الاضطراب، ومن هنا جاء الاسم الخطي. معادلات بولتزمان هي معادلات خطية!
كما ذكرنا فإن تأثير الفراشة ليس مبدأ بل هو تأثير يظهر في نوع معين من الأنظمة الفوضوية مثل أنظمة الطقس.
"إن تأثير الاضطراب الأولي البسيط في الغاز قصير الأمد وسرعان ما يصبح غير محسوس"؟ ألا يتعارض هذا مع مبدأ تأثير الفراشة؟
بالإضافة إلى ذلك، ليس من الواضح ما هو اختراع وتطوير "الرياضيات الجديدة" من قبل J. Funct. انال هكذا اخترعوا رياضيات جديدة ولم يتم اعلامنا ولكن بجدية ما هذه التطورات الجديدة؟
יעל
في رأيي أنك تطرح أحد أهم الأسئلة المتعلقة بالفيزياء ولها ارتباطات كثيرة بموضوع المقال.
الفيزياء في رأيي هي نظرية التقريبات. إنها التقريبات التي تسمح لنا بحل المشكلات الرياضية المعقدة دون حل كامل باستخدام الحدس المادي. على سبيل المثال، لم يثبت علماء الرياضيات حتى الآن أن هناك دائمًا حل لمعادلة نافييه-ستوكس في ثلاثة أبعاد أو أن الحل ليس مفردًا، ومن ناحية أخرى، يعرف الفيزيائيون والمهندسون كيفية وصف تدفق السوائل في كثير من الحالات. تسمح لنا الفيزياء بفصل الأشياء الأساسية عن الأشياء اللطيفة. وبالمناسبة، يتم تقديم مكافأة قدرها مليون دولار للمهتمين للحصول على الدليل المذكور أعلاه فيما يتعلق بشركة Navier-Stokes.
لمقارنة النظرية الفيزيائية بالواقع نستخدم النظرية لإهمال ما هو غير مهم. على سبيل المثال، تقع كرة تحت تأثير الجاذبية الأرضية، فهل يجب أن يؤخذ في الاعتبار تأثير جاذبية القمر، المريخ، المشتري؟ تسمح لنا النظرية الفيزيائية برؤية التقريبات التي يمكن إجراؤها. في الحالة المعنية، فإن تأثير القمر والمريخ والمشتري لا يكاد يذكر ويمكن إثبات ذلك باستخدام قوانين نيوتن. إن عظمة الفيزياء هي قدرتها على تقدير كيفية تصرف حل المعادلة الرياضية في ظل ظروف معينة دون أن يكون الحل بين أيدينا. هناك عدد قليل جدًا من المشكلات المالية التي يمكن حلها تحليليًا: المذبذب التوافقي، ومشكلة الجسمين، ... عظمة الفيزياء هي قدرتها على تبسيط المشكلات المعقدة عن طريق التقديرات التقريبية وتحويلها إلى مشاكل بسيطة والقدرة على تقدير تصحيحات للحل البسيط. في اللغة التقنية، تعتمد الفيزياء على مجال نظرية الاضطراب.
نقطة مهمة هي تبرير المعادلات المالية. لقد أعطيت مثالاً على أن قوانين النسبية أصبحت نيوتونية عند السرعات المنخفضة. القوانين الفيزيائية في هذه الحالة هي قوانين النسبية الخاصة، فهي تسمح لنا بمعرفة متى ستعمل قوانين نيوتن بشكل جيد وسيعمل الفيزيائيون كأشخاص عمليين مع قوانين نيوتن بدلاً من الوصف الرياضي الكامل للمشكلة. بدون النظرية النسبية الخاصة، تكتسب قوانين نيوتن صلاحيتها من مطابقة التجربة، فعندما كان من الممكن إجراء تجارب أكثر تعقيدًا، اتضح أن مجموعة التجارب بأكملها الآن تتوافق مع قوانين أكثر عمومية، أي النسبية الخاصة.
للتلخيص: الفيزياء مبنية على تقديرات تقريبية (ضمن نظرية فيزيائية معينة) بحيث تصبح المشكلة بسيطة بما فيه الكفاية ولكن ليست بسيطة للغاية! إن التقريبيات هي أداة الفيزياء لوصف العالم بالمستوى الضروري من التعقيد.
اجعل كل شيء بسيطًا قدر الإمكان، ولكن ليس أبسط.
البرت اينشتاين
ليزا
إن دافع الباحثين هو في الواقع محاولة الإجابة على أسئلة العلاقات بين السبب والنتيجة، ومن ناحية أخرى تنتهي السلسلة التفسيرية في رأيي بالقانون الفيزيائي. على سبيل المثال، اكتشف كيبلر القوانين الثلاثة لحركة الكواكب، ويمكنك أن تسأل ما الذي يجعل الكواكب تتحرك وفقًا لأي قوانين وقانون نيوتن للجاذبية "يجيب" على ذلك. ولذلك فإن الإجابة على السؤال عن سبب تحرك الكواكب في مدارات إهليلجية هي قوانين نيوتن.
هل القانون يوضح السبب بشكل أفضل وما هو سبب القانون؟ في رأيي، قوانين الطبيعة هي وسيلة مدمجة للجمع بين نتائج العديد من التجارب. سأحاول أن أشرح نفسي بشكل أفضل باستخدام القياس. النتائج التجريبية هي كالنقاط على مجموعة من المحاور، قانون الطبيعة هو المنحنى (الدالة) الذي يصف النقاط، مثلا المنحنى الأقرب إلى جميع النقاط. يمكن نقل عدد لا نهائي من الدوال إلى مجموعة محدودة من النقاط، بحيث للتأكد من الدالة المختارة يجب مواصلة المنحنى إلى المناطق التي لا يوجد بها نقاط وإضافة نقاط (أي تجارب إضافية) في هذا المجال وفحصها القياس.
ما هو دور "القصة" المادية في هذا الوصف؟ القصة هي ما يتيح الربط بين الخبرة والوظائف والنقاط الرياضية. مثال: سقوط كرة تحت تأثير الجاذبية. القصة الفيزيائية تتحدث عن خاصية كتلة الكرة،
يمكن تجاهل الخصائص الأخرى للكرة: لونها، وشكلها (قريبًا أولاً)، والمادة المصنوعة منها، وما إلى ذلك...
يمكننا الآن كتابة معادلة للكتلة النقطية التي تؤثر عليها القوة. تكمن قوة النظرية النفسية في إيجاد المعايير الصحيحة لوصف الظاهرة. مثال: علمتنا التجارب أن لون الكرة ليس له أي تأثير على سرعة سقوطها. وفي الختام، تحدد القصة الفضاء الرياضي الذي تطرح عليه الأسئلة ويربط القانون الفيزيائي النتائج به.
ودي،
شكرا على اجابتك. عندما قلت أنه من الممكن تقريب العملة المعدنية من عداد كروي كنت أحاول تقديم موقف. إنه مثل القول بأننا إذا أهملنا سرعة الضوء ونظرنا فقط إلى الأجسام البطيئة، فإن معادلات النسبية تصبح ميكانيكا نيوتنية. وهذا لا يعني أن ميكانيكا نيوتن صحيحة دائمًا، والحقيقة أنها ليست كذلك. إنه تقريب جيد للواقع في ظل ظروف محددة.
تتعامل الفيزياء التجريبية بشكل رئيسي مع التقريب والإهمال. أو كما نقول عادة في القسم: "موقف الفيزيائيين من الرياضيات مثل موقف المحامين من كتاب القانون. يجب أن تعرفهم ويجب أن تعرف كيفية تجاوزهم."
أما بالنسبة لنا، فأنا أتذكر من دروس الديناميكا الحرارية أنه كانت هناك بعض الأشياء المزعجة. تقريب كلابيرون، وتقريب الغاز المثالي، وتقريب المذبذب التوافقي، والزينة على الكعكة عبارة عن رسم تخطيطي للتحولات الطورية للضغط كدالة في الحجم، رسم المحاضر هذا الرسم البياني حرفيًا على السبورة ثم وضع علامة على الخط الأوسط بلا مبالاة وقال "هذا ليس ماديا، وغير موجود في الواقع" وتخمين كيف حل هذه المشكلة؟ مجرد إجراء تقريبي!
ودي:
أحب أن أسمع رأيك حول علاقات السبب والنتيجة في الفيزياء وطريقة التعبير عنها في المعادلات.
ويبدو أن هذه العلاقات ليست جزءا من الشكلية الرياضية ولكنها جزء لا يتجزأ من الجانب السردي للنظريات الفيزيائية. كيف تفسر ذلك؟ هل يمكن محو السببية تمامًا من النظريات الفيزيائية؟
يبدو أنه من ناحية، فإن أحد أهداف النظرية الفيزيائية هو فهم العلاقات السببية والكشف عنها، ومن ناحية أخرى، يبدو أن هذا ليس ضروريًا على الإطلاق لصياغة دقيقة للنظرية الفيزيائية
هل هناك ممارسة تجريبية في الفيزياء تحاول الكشف عن العلاقات بين السبب والنتيجة أم أنها فقط لتأكيد التوافق مع المعادلات؟
هل هناك نظير في الفيزياء لمحاولة الفهم الكمي لمثل هذه العلاقات كما يحاولون القيام به، على سبيل المثال، في الطب (عند محاولة فهم سبب بعض الأمراض)
יעל
بداية أشكرك على طرح الموضوع وهو في رأيي نقطة مهمة جداً. المعادلات هي الملكية
الدور المركزي في العلوم الدقيقة. بعض المعلقين على الموقع، ولا أقصدكم، لا يفهمون هذا الكلام.
يتكون العلم الدقيق من نموذج يمكن أن يحتوي على جانب سردي وكلمات مثل الأكوان المتوازية والمادة المظلمة والأبعاد الإضافية والمزيد. وطالما أن الأمر يتعلق بالكلمات، فإن النموذج ليس علمًا دقيقًا. خطوة أخرى نحو التحول إلى علم دقيق هي اللحظة التي يتم فيها وصف النموذج باللغة الرياضية، أي المعادلات.
هنا مرة أخرى الأمر يتعلق بالرياضيات البحتة، فمن الممكن إثبات أن المعادلات لها حل، ومن الممكن إثبات وحدات الحل، ويمكن العثور على تعبير تحليلي للحل. كل هذه الخطوات رياضية ولا علاقة لها بالعلم تقريبًا. ويأتي الجزء العلمي عندما تقارن حل المعادلة بالتجربة! إن العثور على حل تحليلي ليس فيزياء، بل هو رياضيات بحتة مرة أخرى. المعادلات تكتسب صحتها من المقارنة إلى التجربة فقط! وكما ذكرنا فإن الحل التحليلي لا علاقة له ولا علاقة له بتأكيد المعادلات.
على سبيل المثال: إيجاد حل تحليلي لمعادلة شرودنغر لا يثبت صحته كما سبق بالنسبة لمعادلة ماكسويل والمعادلات الفيزيائية الأخرى. تأكيدهم يأتي من المقارنة مع الخبرة!
التقريب الذي تتحدث عنه وأوردت كمثال عملة الخمسة شيكل التي تم تقريبها كعد هو تقريب يتم إجراؤه في إطار معادلة معينة لحلها. يعد حل مشكلة التناظر الكروي أكثر ملاءمة. إن نجاح التقريب لا يزيد أو يقلل من قوة المعادلة، بل يؤكد أو يقوض افتراضات التقريب. وبطريقة ساذجة، يمكن اعتبار المعادلات الفيزيائية بمثابة قوانين الطبيعة. في ظل افتراض بعض قوانين الطبيعة، من الممكن استخدام تقديراتها المختلفة للمقارنة مع الخبرة أو لحساب الأنظمة العملية، على سبيل المثال المفاعلات النووية التي ذكرتها بالفعل.
بالمناسبة، الشيء الذي يحدث مرات عديدة هو أن هناك حلول للمعادلات التي تم استبعادها لأنها ليست مادية.
هناك عدة نقاط أكثر أهمية في سياق الحل الدقيق للمعادلات التي آمل أن أكتب عنها لاحقًا.
ولم أقلل من قيمة معادلة بولتزمان، فمن مثلي يعرف مدى استخدام هذه المعادلة على نطاق واسع. لقد قلت للتو أنه لا ينبغي الاستهانة بالحل التحليلي أو الرياضي أو أي شيء يساهم في إثبات النظرية.
حتى العملة المعدنية بقيمة 5 شيكل يمكن اعتبارها عددًا كرويًا عند حساب سعتها.
هناك فروع للديناميكا الحرارية تعتبر في أحسن الأحوال تقريبًا رائعًا للواقع، وفي أسوأها، معادلات قد تؤدي إلى حلول غير فيزيائية.
ليل بيتار
1).هذا ليس "برهانًا رياضيًا" ولكنه "حل تحليلي" للمعادلة.
2] حقيقة أن المعادلة لها حل تحليلي لا تكفي لتأكيد "صحتها" فيزيائيا.
3]. المعادلة، أو بشكل أكثر دقة، قانون الطبيعة الذي يتم صياغته كمعادلة، يعتبر "صحيحًا" من وجهة نظر فيزيائية، إذا وفقط إذا:
ويصف بدقة إحصائية معقولة، الملاحظات والقياسات المادية.
4] الحل التحليلي له ميزته أنه يسهل ويسهل العمليات الحسابية.
5]. يمكن أن يكون هناك، وهناك، معادلات رياضية إضافية، لها حل تحليلي ولكن ليس لها شرعية واضحة أو فيزيائية، ومن ناحية أخرى، العديد من القوانين الفيزيائية الموصوفة بمعادلات ليس لها حلول تحليلية ولكن التقريبات الحسابية فقط.
6]. معادلة بولتزمان ليست معادلة اعتباطية تمامًا، ولكنها مبنية على افتراضات فيزيائية معينة. كما أن الافتراضات المذكورة أعلاه ليست اعتباطية تمامًا ولكنها تستند إلى تجارب سابقة ومعرفة فيزيائية.
وهذا بالفعل ما ورد في المقال صراحة.
يائيل:
أشارك الحماس ولكن ليس السبب.
وحقيقة أن المعادلة تصف الواقع ليست استنتاجًا من البرهان الرياضي المعني هنا (والذي ليس أكثر من برهان رياضي لحل المعادلة).
هذا هو الاستنتاج من التجارب.
تم إجراء هذه التجارب منذ فترة طويلة ويعرف الجميع أن المعادلة تعمل (مكتوبة أيضًا في المقالة).
ما لم يعرفوه هو كيفية حساب الحل الدقيق لها، وهذا ما اكتشفه علماء الرياضيات الآن.
من المهم أن نفهم أن إيجاد حل رياضي للمعادلة لا يقول شيئًا عن مدى ملاءمتها لوصف أي شيء مادي.
مفاجئة ومثيرة. شكرا على الخبر غالي.
ودي،
إذا كانت معادلة اعتباطية كافية لوصف ظاهرة ما في عالمنا، فهذا لا يعني أنها صحيحة، بل يمكن أن تكون مجرد تقريب جيد في ظل ظروف محددة. الدليل الرياضي مهم أيضًا.
معادلة بولتزمان ليست معادلة متناحية تستخدم فقط لوصف ديناميكيات جزيئات الغاز. تُستخدم معادلة بولتزمان في حسابات نقل الإلكترون في الموصل، والتوصيل الحراري، ونقل النيوترونات في المفاعلات. هناك مبالغة في الادعاء بأن معادلة بولتزمان هي معادلة غير قابلة للحل. تسمح معادلة بولتزمان بإجراء حسابات التدفق في المفاعلات النووية، وبفضل القدرة على حلها، يمكن تشغيل مفاعلات الطاقة النووية بأمان. على عكس الرياضيات، لا يوجد اهتمام كبير في الفيزياء بالحل الدقيق لمشكلة ما (من الجيد وجودها، ولكنها ليست ضرورية). تحتوي معادلة بولتزمان على عدد لا يحصى من المعادلات القريبة، على سبيل المثال معادلة الانتشار. فيما يلي حلول مرضية لمشاكل المستوى العملي. مع تطور أجهزة الكمبيوتر، أصبح من الممكن الآن حل المسائل الرياضية المعقدة في فترة زمنية معقولة، وهذه الحقيقة تقلل أيضًا من قيمة الحلول الدقيقة.
لتلخيص ما يلي: معادلة بولتزمان هي معادلة مهمة جدًا في الفيزياء ولها العديد من الآثار العملية.
لمعادلة بولتزمان العديد من الأقارب الفيزيائيين (لعقود من الزمن) التي تسمح بحلها في ظل ظروف معينة.
ربما لأن الحل الرياضي الدقيق ليس له العديد من النتائج العملية، فمن الجيد أن يتم العثور على الحل، ولكنه أكثر في اتجاه الفضول الرياضي.
لا أعتقد أنني ذكرت أن معادلة بولتزمان لها 7 أبعاد. ولكن الصحيح في المقال الذي يصف الإكتشاف في إعلان الجامعة أنها معادلة سبعة أبعاد. في الرياضيات، لا يتعلق الأمر بالأبعاد المكانية، ولكن الهدف هو أنه لتحديد شيء ما، يجب أن يكون لديك 7 معلمات. ولذلك فهو ليس الحل الذي سيعطينا غازًا غامضًا لديه القدرة على فتح بوابة مخفية للأكوان الموازية ذات الأبعاد السبعة. من الواضح أن هذا شيء أكثر رسمية، ولكنه أيضًا يعقد المعادلة بشكل كبير كما ترون هنا.
الدكتور. غالي وينشتاين
مكتوب هناك أن هذه معادلة ذات 7 أبعاد.
هل يمكنك أن تشرح لماذا؟
شكرا.
مقالة مثيرة للاهتمام.
تخمينك صحيح.
قسم الرياضيات بنسلفانيا؟ أفترض أن هذا هو قسم الرياضيات بجامعة بنسلفانيا
بدأت رياح جديدة تهب على الموقع
شكرا لغالي.