رسم الخرائط الرياضية E8

قام فريق بحث من علماء الرياضيات من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا برسم خريطة لواحدة من أكثر الهياكل الرياضية تعقيدًا على الإطلاق

تمت تسمية الموضوع: "مجموعة الكذبة الاستثنائية E8" على اسم عالم الرياضيات النرويجي لي سوفوس/ بسبب ارتباطات E8 بمجالات العلوم الأخرى، وهذا إنجاز كبير للمعرفة الأساسية، بما في ذلك نظرية الأوتار في الهندسة.

إن كمية الحسابات مذهلة، وإذا كتبت على الورق بخط صغير فإنها ستغطي مانهاتن بأكملها. علماء الرياضيات الذين طوروا هذا العمل معروفون بأسلوب عمل فريد ولكنه صارم. وهذا جزء من مشروع أوسع يعرف باسم "الرياضيات 18" تم تطويره بالتعاون بين علماء الرياضيات من الولايات المتحدة الأمريكية وأوروبا بشكل مكثف لمدة 4 سنوات. يوجين هيجنز يوجين هيجنز - أستاذ الرياضيات بجامعة برينستون - وهو ليس شريكًا في تطوير المشروع. "إن فهم وتصنيف أهمية تقديم هذا النموذج أمر بالغ الأهمية لتوجيه الظواهر المختلفة في العديد من مجالات الرياضيات والعلوم بما في ذلك الجبر والهندسة ونظرية الأعداد والفيزياء والكيمياء. سيكون هذا المشروع ذا قيمة كبيرة لعلماء الرياضيات والعلماء في المستقبل.

أكبر من الجينوم البشري

ومن معدل حساب E8، يطلب مقارنة التطور مع تكسير الجينوم البشري. حجم الجينوم البشري، الذي يحتوي على جميع المعلومات العامة للخلية، أقل من غيغابايت. نتيجة حساب E8 الذي يحتوي على كافة المعلومات الممثلة في E8 هي بمعدل GB60. هذا المبلغ يكفي لتخزين الموسيقى المستمرة بتنسيق MP3 لمدة 45 يومًا.

في حين أن العديد من مشاريع البحث العلمي تحتوي على كمية كبيرة من البيانات، فإن حساب E8 مختلف تمامًا: كمية البيانات المدخلة صغيرة نسبيًا ولكن نتيجة الحساب ضخمة الحجم ومضغوطة للغاية.

وكما هو الحال في مشروع تكسير الجينوم البشري، فإن هذه النتائج ليست سوى بداية الطريق. وبحسب كلام رئيس المشروع جيفري آدامز فإن "هذا البحث الأساسي له دلالات كثيرة، معظمها لم نفهمها بعد. وكما أن الجينوم البشري لا يوفر علاجًا فوريًا فوريًا، فإن نتائجنا أيضًا هي أداة أساسية سيتم استخدامها للبحث المتقدم في مجالات أخرى.

وقد يكون لهذا عواقب غير متوقعة في الرياضيات والفيزياء لم يتم ملاحظتها منذ سنوات عديدة.

وعلى حد تعبير هيرمان نيكولاي، مدير معهد ماكس بلانك في باتسدام - ألمانيا (وهو ليس شريكا في المشروع)، فإن "هذا إنجاز مثير للإعجاب. في حين أن علماء الرياضيات يدركون منذ فترة طويلة جمال وتفرد E8، فإننا نحن الفيزيائيون لم نتوصل إلا مؤخرًا إلى فهم الدور الاستثنائي لهذا المفهوم في جهودنا لتوحيد الجاذبية مع القوى الأساسية الأخرى في نظرية الكم الجاذبية، أصبح لدينا الآن إمكانية الوصول إلى كل زاوية تقريبًا! وبالتالي، فإن فهم عمل E8 بعمق، لا يعد تقدمًا في الرياضيات البحتة فحسب، بل سيساعد أيضًا الفيزيائيين في بحثهم عن نظرية القوة الموحدة.
حساب E8

بدأ الفريق الذي طور حساب E8 عمله منذ أربع سنوات. يجتمعون كل صيف في المعهد الأمريكي للرياضيات وتجتمع مجموعات عمل أصغر سنويًا. يتطلب عملهم مزيجًا من الرياضيات النظرية وبرمجة الكمبيوتر المعقدة.

وبحسب كلمات أحد أعضاء الفريق ديفيد فوغان من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا: "إن الأدبيات حول هذا الموضوع كثيفة ومن الصعب جدًا فهمها. وحتى بعد أن فهمنا الأساس الرياضي للفكرة، استغرقنا عامين آخرين لتنفيذها على الكمبيوتر. ثم بدأت مشكلة العثور على جهاز كمبيوتر قوي بما يكفي لإجراء العمليات الحسابية. كان هناك حاجة إلى عام آخر لتحسين الحساب بحيث يتناسب مع حاسوب عملاق موجود قادر على إجراء العمليات الحسابية، ولكن لا تزال هناك مشكلة تدهور القدرة التي تجعل من الممكن احتواء بيانات نتائج الحساب.

فكر الفريق في انتظار وصول جهاز كمبيوتر أكبر، عندما اكتشف نعوم أتكينز من جامعة هارفارد طريقة بارعة لإجراء تغييرات طفيفة على الحسابات، يعرض كل منها نسخة جزئية من النتيجة. هذه النتائج الجزئية تضيف ما يصل إلى الحل الكامل. وكانت تكلفة هذا الحل في الوقت اللازم لإجراء الحسابات - أربعة أضعاف الوقت المطلوب للحساب الأصلي، بالإضافة إلى الوقت الإضافي المطلوب لتجميع النتائج. بشكل عام، يستغرق الأمر 77 ساعة على الكمبيوتر العملاق.

التماثل "الجميل".

على المستوى الأساسي، يعتبر حساب E8 بمثابة تحقيق في التماثل. اخترع علماء الرياضيات مجموعة الكذب لإيجاد طريقة لتحديد التماثل لأي كائن متماثل. على سبيل المثال، الجسم المتماثل مثل الكرة في الفضاء ثلاثي الأبعاد هو حزمة Li، وحزم Li تأتي في عائلات.

المجموعات الكلاسيكية A1، A2، A3، ... B1، B2، B3، ... C1، C2، C3، ... D1، D2، D3، ... ترتفع مثل التلال نحو الأفق. تبرز فوق المشهد الرياضي، وتدفع إلى قمم المجموعات غير العادية G2 وF4 وE6 وE7 وفوقها جميعًا E8. E8 عبارة عن مجموعة معقدة بشكل خاص: فهي تحتوي على كائنات متماثلة ذات 57 بُعدًا ولها في حد ذاتها 248 بُعدًا!

مطلوب مستوى إضافي من التجريد لوصف النتائج. الطريقة التي تعلن بها E8 عن نفسها على أنها تناظر تسمى "التمثيلات". الهدف هو وصف جميع العروض الممكنة لـ E8. هذه العروض معقدة للغاية، لكن علماء الرياضيات يصفونها من حيث هياكل الكتل الأساسية، والنتيجة الناتجة هي قائمة بهذه الهياكل لعروض E8 ووصف دقيق لـ E205,263,363,600. العلاقات بينهما، كلها مشفرة في مصفوفة تحتوي على XNUMX إدخال.

أطلس مشروع مجموعة لي

الحساب جزء من مشروع مرموق يعرف باسم: "أطلس مجموعات وتمثيلات الكذب"

الهدف من مشروع أطلس هو تحديد كل عرض تقديمي لمجموعة لي بشكل فريد. هذه واحدة من المسائل الرياضية العظيمة التي لم يتم حلها والتي ظهرت في بداية القرن العشرين. إن نجاح حساب E8 يقلل من الشك في أن فريق مشروع أطلس سيكمل مهمته.

ترجمة يورام تومر بيان صحفي للمعهد الأمريكي للرياضيات حول مناقشة عقدت في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا تحت إشراف ديفيد فوغان يوم الاثنين 19.3.2007: "نتائج حساب E8"