نائب الأمير

نبذة عن حياة وعمل عالم الرياضيات جورد فريدريش بيرنهارد ريمان في القرن التاسع عشر 

ولد جورج فريدريش بيرنهارد ريمان عام 1826 في قرية صغيرة بالقرب من مدينة هانوفر، وهو ابن كاهن لوثري فقير وغير شاب. في القرن التاسع عشر كانت أوروبا قوية جدًا في مسائل التحضر والثورة الصناعية. ظل الفقراء فقراء، ويعيشون فقط في مناطق أكثر كثافة سكانية. كان مرض السل هو المرض الأكثر انتشارا في الأحياء الفقيرة في أوروبا، وكل الطبقة الأرستقراطية الفقيرة في أوروبا أصيبت بالسل. إذا لم تفقد طفلا أو سنوات بسبب مرض السل، فأنت لم تكن فقيرا. واحد من كل خمسة مرضى في بريطانيا، وواحد من كل ستة مرضى في فرنسا، هو تضخم مفرط لمرض السل. بهذه المعايير كانت عائلة ريمان في المرتبة العشرية العليا.

توفيت والدة جورج فريدريش بيرنهارد وشقيقاته الثلاث بسبب مرض السل عندما كان لا يزال صغيرا، تاركين أبا وثلاثة أطفال، أولاد، دون أن يعرف أحد كيف يطبخ أو يغسل الملابس أو يدير شؤون الحياة. وعليه، لا تثق في الأب ريمان ليعرف متى سيسجل ابنه في المدرسة. لقد علم ابنه للتو في المنزل. وكانت المشكلة أن الابن متفوق في الرياضيات. وفي حوالي دقيقة ونصف، تعلم برنهارد كل ما يمكن أن يعلمه والده. وكان شولتز، مدير المدرسة القريبة، هو التالي في الصف. وكان هذا كافياً حتى سن العاشرة. وبدلاً من إرسال ابنه للعمل كمتدرب سباك ووضع بعض الطعام على مائدة الأسرة، أرسله الأب ريمان إلى هانوفر ليعيش مع جدته ويدرس في مدرسة متوسطة - ليسوم. ربما كان فريدريش بيرنهارد يفضل العمل. لقد كان طفلاً انطوائيًا وهادئًا ويعاني من رهاب المسرح بشكل غير طبيعي، ولم يسهل عليه الأطفال في المدرسة الأمر. ودرس نظام الساعات الكلاسيكي الذي يحتوي على دروس في العبرية واليونانية والكتاب المقدس وأشياء من هذا القبيل. مسجل كطالب جيد، ولكن ليس متميزا بشكل خاص. بعد سنوات، تموت الجدة، ويذهب شاب ريمان إلى المدرسة الثانوية - صالة الألعاب الرياضية.

طالب هادئ ومنطوٍ، لا يتكلم، لا يتفوق، لا يمثل مشكلة. يتعين على المرء أن يبذل جهدا لتمييز وجودها بين الطلاب المسجلين البالغ عددهم 381 طالبا. وقد لاحظ مدير المدرسة قسطنطين شمالفوس ذلك. وبصدفة مذهلة كان المدير الوحيد على الإطلاق في تاريخ المدرسة الذي جاء من مجال الرياضيات ودرسها في الجامعة وليس في الدير، اهتم بسؤال ريمان عن اهتماماته وعندما سمع سمح له بذلك. يلعب بكتب رياضية صعبة نوعًا ما. أكلها ريمان بدون ملح ثم طلب المزيد. الأسطورة الأكثر شهرة حول شهية ريمان للرياضيات تتعلق بكتابه السميك من تأليف ليجيندر حول نظرية الأعداد وحقيقة أن ريمان أنهى 900 صفحة من الكتاب في أقل من أسبوع. ويصف شمالفوس أيضًا المتعة الكبيرة التي حظي بها في محادثاته الرياضية مع الطالب ريمان. يلاحظ أخلاقه اللطيفة وصوته اللطيف ومزاجه السعيد. أصبح ريمان الانطوائي شيئًا آخر عندما تحدث إليه بشكل صحيح. كما أشار شمالفوس في مذكراته إلى أنه تعلم من ريمان أكثر بكثير مما تعلمه ريمان منه.

أصبح من الواضح الآن أن هناك موهبة هنا وأنها تتركز في الرياضيات. لسوء الحظ بالنسبة لشمالفوس، فإن جنون ريمان في الكمال جعله لا يقدم أعمالاً إلا إذا كانت مثالية. وقد تسبب ذلك في تأخره لأشهر عن تسليم الواجبات في المواد الأخرى وكان على وشك ترك المدرسة الثانوية دون شهادة الثانوية العامة. هذا هو المكان الذي ظهر فيه الدكتور غوستاف هاينريش شيفر في الصورة. المعلم العبري الشاب . شيفر، بالاتفاق مع شمالفوس، أخذ ريمان ليعيش في منزله، وجلس معه حتى الساعات الأولى من الليل وراقبه حتى أنهى عمله. حتى أن ريمان ساعد في تحسين كتابة الكتاب المدرسي العبري الذي سيتم تدريسه في جميع المدارس اللوثرية في المنطقة. أدت معارفهم العميقة على مر السنين إلى تشخيص شافير المذهل بأن هذا الرجل لن ينجح مع النساء وأنه ببساطة ساحر. لذلك، يترك ريمان بشهادة الثانوية العامة الممتازة فقط بفضل كونستانتين شمالفوس. من هنا إلى الجامعة.

الرياضيات لا تضع الطعام على طاولة أي شخص إلا إذا كان لديك راعي غني. الطريقة الوحيدة التي يمكن لريمان من خلالها مواصلة الدراسة هي أن يصبح رجل دين. الأب ريمان، ليس من الواضح من أين تمكن، ربما من السوق الرمادية، من جمع ما يكفي من المال لإرسال ابنه إلى جامعة غوتنغن لدراسة اللاهوت.

العام هو 1846 وغوتنغن لا تزال مجرد مكان. ثم جاء الأمير إلى غوتنغن وحولها بين عشية وضحاها إلى إحدى الجامعات الرائدة في العالم. من هو الأمير انها غاوسي.

في جملة واحدة قيل أنه توأم ريمان الشرير. مثل ريمان، كان انطوائيًا، ولا يحب التحدث أمام الجمهور، وينحدر من عائلة فقيرة، وكان موهوبًا مثل الشيطان في الرياضيات. هذا هو المكان الذي ينتهي فيه الخيال. وبدلاً من أب داعم ومحب، حصل غاوس على أب أصر على أن يكون عامل بناء على الرغم من الطلبات المتكررة من معلمي غاوس الذين توسلوا إليه أن يرسل الصبي لدراسة الرياضيات. لم يكن غاوس من النوع الخجول بالمعنى التقليدي للكلمة، والوصف الأفضل له هو أنه يكره الرجال. بينما لم يكن يكره آدم كان يطارد الفساتين. على النقيض من تواضع ريمان الحقيقي، كان غاوس متعجرفًا ومغرورًا، ويُحسب لغاوس أنه حصل على إيصالات من الأرض إلى القمر لتغطية غطرسته التي لا تطاق. هذه التشابهات، في مجالات نظرية المجموعات والتحليل المركب والفيزياء، أكسبته بحق لقب أمير علماء الرياضيات.

ولذلك، وصل ريمان إلى غوتنغن في عام 1846 لدراسة اللاهوت واستمع إلى عدة محاضرات من الأمير، الذي كان محاضرًا سيئًا بشكل خاص. هذا لا يزعج ريمان، فهو يلتقط كل شيء دون مشكلة. يوافق ريمان الأب، بعد فصل دراسي واحد، على إطلاق سراح ابنه من دورة اللاهوت، ويذهب ريمان بكامل قوته في الرياضيات. غاوس، لم أره لفترة من الوقت. والذي لاحظه هو موريتز أبراهام شتيرن، وهو أول أستاذ يهودي في إحدى الجامعات الألمانية. لقد أولى اهتمامًا وثيقًا بالموهبة التي كانت بين يديه، وأدرك أيضًا أن الرجل كان خجولًا جدًا ولن يتحدث عن مبادرته الخاصة لتطوير حياته المهنية. أرسل الشاب ريمان إلى برلين. في برلين، يطور ريمان علاقات مع العديد من الزملاء، ويشكل صداقة حقيقية مع يوهان بيتر غوستاف دريشكل.

يشارك دريشلا أسلوب عمله مع ريمان. أول شيء هو أن توضح لنفسك بشكل حدسي ما تريد إثباته، ثم قم بإجراء تحليل منطقي بسيط ودقيق للأسئلة الأساسية لمشكلتك، والأهم من ذلك تجنب الدخول في حسابات مطولة بأي ثمن. والنتيجة هي رياضيات أنيقة وقصيرة وبسيطة للاختبار.

في عام 1849، عاد ريمان إلى غوتنغن ليحصل على درجة الدكتوراه مع الأمير. الدكتوراه رائعة، ريمان يأخذ مفاهيم الدوال المعقدة التي طورها كوشي وجاوس من قبله، ويتخلص من الحسابات المعقدة ومتسلسلات القوى ويضفي على هذا الفرع من الرياضيات أناقة رائعة. رسالة الدكتوراه جميلة، لكن ماذا عن الروعة الأكاديمية؟ لكي يتم قبولك كمحاضر غير مدفوع الأجر، وهو أدنى رتبة في جامعة ريمان، يتعين عليك إلقاء محاضرة أمام الجمهور حول موضوع يختاره المشرف - غاوس. وكان لدى غاوس شكوك جدية حول الهندسة. بعض التعاريف، خمس بديهيات يشتق منها كل شيء.

كتب غاوس إلى صديقه أولفرز، "لقد أصبحت مقتنعًا أكثر فأكثر بأنه لا توجد طريقة لإثبات الضرورة الفيزيائية للهندسة الإقليدية، على الأقل ليس عن طريق العقل البشري. ربما في تجسيد آخر سنتمكن من رؤية طبيعة الفضاء، وهو ما لا نستطيع تحقيقه اليوم. وحتى ذلك الحين، يجب علينا أن نضع الهندسة ليس في نفس الفصل مع الحساب، وهو أمر بديهي تمامًا، ولكن مع الميكانيكا.

حسنًا، أعتقد أنك تستحق شرحًا موجزًا ​​لما يريده غاوس من حياتنا: لنبدأ بمفهوم "المعرفة المسبقة". المعرفة القبلية هي المعرفة التي لا تعتمد على خبرتنا، المعرفة المستمدة فقط من التعريفات والاستنتاجات المنطقية من هذه التعريفات أو المعرفة المستمدة من البديهيات. على سبيل المثال "كل حجم يساوي نفسه" لا نختبرها في الواقع قبل أن نعلن صحتها، هذه البديهية لا تعتمد على الواقع، فهي نتاج فكر خالص. الحساب، وفقا لغاوس، بديهي. أنظمة الأعداد وقوانين الجمع والضرب لا تعتمد على الواقع. إنها إبداعات الفكر الإنساني ويمكن تطويرها حتى لو لم نرى أو نسمع أي شيء. يظن غاوس أن الهندسة ليست بديهية، على الرغم من أنها مبنية على بديهيات تعريفية وجمل مشتقة منها. لا توجد ملاحظات، لا تنبؤات، لا شيء مادي هنا. فلماذا يعتقد غاوس أن الهندسة جزء من الفيزياء؟

حسنًا، في عام 1826، عندما ولد ريمان للتو، أعطى غاوس واحدة من أهم ومضات رباطة جأشه. قدم غاوس مفهوم انحناء السطح إلى عالم الرياضيات، واقترح طريقة لقياس الانحناء عند أي نقطة على السطح، والأهم من ذلك، أثبت نظريته المذهلة (هذا ليس أنا، هذا ما أسماه غاوس: النظرية المذهلة) ). ما تقوله النظرية المذهلة هو أن الانحناء عند أي نقطة على السطح يكون ثابتًا في ظل القياس المتساوي القياس.

كما يقول إخوتي الصغار من جيل الإنترنت، يا إلهي؟ سأشرح الجملة هكذا: لنفترض أنني مخلوق ثنائي الأبعاد أعيش على مستوى ثنائي الأبعاد. لكي أعرف انحناء عالمي ثنائي الأبعاد، كل ما أحتاجه هو رسم مثلث وقياس مجموع زواياه. أكثر من 180 - انحناء إيجابي، أقل من 180، انحناء سلبي، بالضبط 180 - انحناء صفر. هذا. لا أحتاج إلى معرفة أي شيء عن الكون ثلاثي الأبعاد في الخارج لحساب الانحناء وبصراحة، إذا تغير شكل هذا العالم ثلاثي الأبعاد غدًا بطريقة لا تشوه المسافات، فلن ألاحظ أي اختلاف في الانحناء في نظري . إذا كان الأمر كذلك، فإن الهندسة الإقليدية تثبت أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، أي مثلث، في أي مكان وزمان. هذا ليس بيان رياضي. تثبت نظرية غاوس المذهلة أن هذا الادعاء فيزيائي. وهذا صحيح فقط إذا كان انحناء كوننا صفراً!. إن إثبات النظرية الهندسية حول مجموع زوايا المثلث يعتمد على بديهية المتوازيات، لذلك اكتشفنا هنا أن بديهية المتوازيات ليست بديهية على الإطلاق. هو افتراض مادي حول الكون.

هنا، بالقرب من نهاية الطريق، توقف غاوس. ولم يجرؤ على استخلاص النتيجة الواضحة. في نفس رسالة غاوس التي يتساءل فيها عن بديهية الهندسة، يقول أيضًا إنه لن ينشر نتائجه أبدًا. لماذا في الواقع؟ لقد قمت بكل العمل، وفرصة الشهرة العالمية أمامك، هل تشعر بالتردد؟ ويمكن القول إن غاوس كان محافظا، وكان حريصا على عدم القيام بالثورات، وكان هذا جزءا من ثورة فلسفية ورياضية وفيزيائية. ويمكن القول أيضًا أن غاوس كان يخشى المكانة التي كان يتمتع بها بالفعل، وكان يخشى التحدي الذي قد يوجهه إليه علماء الرياضيات الآخرون، ويخشى أن يثبتوا خطأه - هو الأمير. ربما لم يرغب غاوس الذي يسعى للكمال في نشر أي شيء يتجاوز الدحض.

لم يكن لدى ريمان المتواضع مثل هذه المخاوف. لم تكن سمعته كبيرة جدًا، ولم يكن لديه مشكلة في تغيير الأمور، علمه الدكتور شافير أن يقدم الأشياء حتى لو لم يكن متأكدًا من أنها مثالية.

10.6.1854. يقدم ريمان أفضل محاضرة دكتوراه على الإطلاق. كان عنوان محاضرة ريمان "حول الفرضيات التي تقوم عليها الهندسة".

في الجزء الأول من المحاضرة يحدد ريمان إطاره الرياضي. فهو يحدد مفهوم الحجم، ومفهوم الورقة كمجموعة مرتبة من الأحجام. يبدو غامضا بالنسبة لك؟ حسنًا، في العالم ثنائي الأبعاد، يمكن وصف كل نقطة بإحداثيتين X وY، أي مجموعة مرتبة من حجمين - والتي تحول المستوى إلى ورقة ذات بعد 2. وبطريقة مماثلة، يمكن أن يكون الفضاء توصف بأنها ورقة ذات البعد 3، ولا يوجد ما يمنعنا من الحديث عن ورقة ذات البعد 28 أيضًا - فهي ببساطة مجموعة من سلسلة مكونة من 28 مقاسًا. الآن بعد أن أصبح لدينا لوحات فنية، يمكننا تحديد أطوال الخطوط على تلك اللوحات. وهنا نواجه الفرضية الأولى التي هي أساس الهندسة وهي: الطول لا يتأثر بالموضع. إذا قمنا بقياس طول خط في مكان معين على قماشنا، ثم قمنا بتحريك الخط، فلن يتغير طوله. يوضح ريمان أن هناك أوراقًا بأي بعد أكبر من 2 لا ينطبق فيها هذا الافتراض حول استقلالية الحجم على الموضع. الأوراق التي يتم فيها تحقيق افتراض الاستقلال يسميها ريمان "التسطيح". إنه يوضح كيف يمكنك بناء لوحة ثلاثية الأبعاد حيث يعتمد طول الخط على موقعه ويظهر بشكل أنيق للغاية أنه يتحدث بالفعل عن الانحناء - الانحناء عند النقطة التي بدأت عندها القياس، والاتجاه الذي تحركنا فيه هما تلك التي ستحدد طول الخط. إذا كان الانحناء ثابتًا ومتماثلًا في جميع الاتجاهات، فلا يوجد حقًا أي اتصال بين الطول والموضع. إذا كانت قماشتنا مسطحة، فإن الهندسة الإقليدية تعمل بشكل جيد. إذن، الافتراض الأول للهندسة حول بنية الكون: الكون عبارة عن لوحة ذات انحناء ثابت.

الآن يصل ريمان إلى الافتراض الثاني: الهندسة تفترض أن الاتجاه أيضًا لا يعتمد على الموضع. أي أننا إذا أخذنا خطاً يشير إلى اتجاه معين وحركناه دون دوران فإن الاتجاه سيبقى كما هو. من السهل أن نرى كيف يمكنك على سطح الكرة - وهي عبارة عن ورقة ثلاثية الأبعاد ذات انحناء ثابت - أن تأخذ خطًا يشير إلى الشمال وتحريكه دون تدويره حتى نحصل على خط يشير إلى الجنوب. يوضح ريمان أن هذا الافتراض لا يكون صالحًا إلا إذا كان انحناء الورقة صفرًا. أي أن فرضية الهندسة الإقليدية حول بنية الكون هي أنه عبارة عن طبقة ثلاثية الأبعاد ذات انحناء ثابت صفر. يوضح ريمان أن هذا يشبه القول بأن الكون أسطواني.

انتهت المحاضرة. كانت هناك ثلاث أو أربع صيغ قصيرة على السبورة. لا حسابات معقدة ولا تعقيدات غير ضرورية. الهندسة لم تعد بداهة. وتضمنت التعريفات البديهية فرضيات حول بنية الكون. فرضيات لا يضمن أحد صحتها. ومن أجل التحقق منها أو دحضها، نحتاج إلى الخروج وإجراء القياسات وفهم أن الهندسة هي فرع من الفيزياء.

وقف غاوس وقال "مفهوم". هذه أعلى مجاملة يمكن أن يتلقاها أي إنسان من أمير الرياضيات، فهي تعني أنه كان يستمع.

إذا قمت بمسح قوائم أعظم علماء الرياضيات على الإطلاق، فستجد غاوس دائمًا في المراكز الخمسة الأولى. سوف يدفع ريمان دائمًا إلى المركز الثاني أو الثالث. لا شيء، فهو لم يحب الشهرة والشرف على أي حال. توفي عن عمر يناهز 39 عامًا بسبب مرض السل، وكان فقيرًا مثل والده، خجولًا ومتواضعًا، لكنه كان موضع تقدير من قبل كل من عرفه ليس فقط كعالم رياضيات عظيم، ولكن أيضًا كشخص لطيف ولطيف. شكرا قسطنطين شمالفوس.

النص أعلاه هو جزء من حلقة البودكاست "Biocast" على موقعنا www.biocast.co.il يمكنكم الاستماع إلى هذه الحلقة وأيضا حلقة أخرى تتناول بشكل كامل فرضية ريمان.