الفركتلات والأثر العملي للرياضيات

كل شيء حولنا - الجبال، السحب، السواحل - عبارة عن فركتلات. يشرح بينوا ماندلبروت، الذي توفي قبل شهر تقريبًا عن عمر يناهز 85 عامًا، في مقابلة أجريت معه عام 1983 ما يعنيه اكتشافه

بعد مرور عام على إصدار ماندلبرو كتابه «الهندسة الفركتلية للطبيعة»، أثارت الفركتلات حماس علماء الرياضيات بالفعل. في عام 1983، جلس علماء الرياضيات أمام الكمبيوتر ونظروا إلى شكل أسود غريب ظهر على الشاشة. لم يكن الكمبيوتر كما هو عليه اليوم: شاشة LCD مسطحة، عالية الوضوح ودقة ألوان مذهلة، أو شاشة ثلاثية الأبعاد. من فكر يوما في مثل هذا الشيء. لقد كانت شاشة قياسية بالأبيض والأسود، أو بالأحرى، شاشة باللونين الأخضر والأبيض من النوع المألوف لعلماء الرياضيات الذين عملوا في تلك السنوات. وبدا أن البقعة السوداء التي ينتجها مدفع الإلكترون وتظهر على نفس الشاشة هي صورة لشيء ما، لكنهم لم يعرفوا ما هو بالضبط. ويبدو شيئا ناقصا ومريضا، تخرج منه الشعيرات والتلال وجميع أنواع النتوءات وإضافات الأشكال. بدت الزوائد نفسها وكأنها أزهار غريبة. تلقى النموذج اسم "مجموعة ماندلبروت".

تحدث بينوا ماندلبروت في عام 1983 مع صحفي يدعى إد ريجيس. فيما يلي محتوى كلمات ماندلبروت من محادثة عام 1983 تلك. أخبر ريجيس أنه أنشأ مجموعة ماندلبروت، واخترع "المجموعة"، كما قال، وأضاف: "يشرفني أن أحمل اسمها". بالإضافة إلى ذلك، وما لا يقل أهمية بالطبع، بدأ ماندلبرو في ذلك الوقت في مجال جديد من الرياضيات يسمى الهندسة الكسيرية أو الهندسة الكسورية. الفراكتل هو كائن ذو شكل غير سلس، مثل الخط أو المنحنى أو السطح؛ ولكن خطًا غير منتظم، مكسورًا بأي ترتيب من حيث الحجم. قال ماندلبروت: "لقد أعطيت الاسم كسورية من الصفة اللاتينية fractus". أوضح ماندلبروت في تلك السنوات أن "الفعل اللاتيني franger يعني "كسر": إنشاء أجزاء غير منتظمة". في عام 1983، اعتقد بعض الأشخاص في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون أن الفركتلات هي مستقبل البحث.

يقول ريجيس إن ماندلبرو عبر عن بيانه في الثمانينات: "السحب ليست مجالات، والجبال ليست مخاريط، والسواحل ليست دوائر، والأصداف ناعمة، حتى البرق لا يتحرك في خط مستقيم. بشكل عام، أزعم أن العديد من الأشكال في الطبيعة غير منتظمة وهشة للغاية لدرجة أنه بالمقارنة مع إقليدس - الهندسة القياسية - فإن الطبيعة لا تقدم مستوى أعلى من التعقيد فحسب، بل مستوى مختلف تمامًا من التعقيد.

أخبر ماندلبروت ريجيس أنه أثناء وجوده في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون عندما كان زميلًا شابًا لما بعد الدكتوراه في الخمسينيات من القرن الماضي، كان ماندلبروت يتجول في الحرم الجامعي لرؤية كمبيوتر فون نيومان. قام فون نيومان بتصميم وبناء جهاز كمبيوتر في المعهد. لكن ماندلبروت لم يكن يعرف كيفية استخدام الآلة بعد، لذلك لم يهتم بالكمبيوتر. بدأ عمله في مجال الكمبيوتر لاحقًا، عندما اكتشف الفركتلات أثناء عمله في شركة IBM في نيويورك.

في وقت مبكر جدًا من حياته المهنية سأل ماندلبروت نفسه: "كم يبلغ طول الخط الساحلي لبريطانيا العظمى؟" وكانت إجابته أنه في الواقع لا توجد إجابة واحدة صحيحة. كل هذا يتوقف على المقياس الذي تختاره للقياس وكذلك معيار القياس الذي تختاره. إذا أخذنا خريطة وقمنا بقياس المسافة بين الطرف الشمالي والجنوبي لبريطانيا العظمى، فسنحصل على تقدير تقريبي لطول الخط الساحلي. ومع ذلك، إذا مشينا على طول الساحل بين نفس النقطتين بالضبط، فسنحصل على إجابة مختلفة تمامًا. وذلك لأننا سنعبر الشاطئ ونسير على طول كل نتوء وخليج صغير على الشاطئ. إذا كنا نملة صغيرة تمشي على طول الشاطئ، فسنظل نسير على طول مسار غير منتظم بشكل متزايد، وبالتالي سنقيس مسافة أكبر بكثير بين النقطتين الشمالية والجنوبية. ولو كنا من ميكروب لكانت المسافة أكبر وهكذا...

في ذلك الوقت، رأى ماندلبرو أن لذلك آثارًا على قياس مساحات الدول، "فأطوال الحدود بين إسبانيا والبرتغال، أو بلجيكا وهولندا، كما ورد في موسوعة هذه الدول المجاورة، تختلف بنسبة 20 بالمئة". قال ماندلبروت في الثمانينيات: «لن نتفاجأ إذا قامت دولة صغيرة (البرتغال) بقياس حدودها بشكل أكثر دقة من جارتها الأكبر». ومن حسن الحظ أنه لم يكن يعرف الصراعات في الشرق الأوسط...

إذا عدنا إلى الرياضيات، فإن الفرق بين الهندسة الإقليدية والهندسة الكسورية يكمن في البعد. في الهندسة الكلاسيكية، يتم التعبير عن الأبعاد بأعداد صحيحة، ويكون للخط المستقيم بُعد 1، والسطح المستوي له بُعد 2، بينما يكون للمادة الصلبة بُعد 3. لكن الفركتلات عبارة عن جبال مكسورة ولها حواف متكسرة، وبالتالي لها أبعاد عبارة عن كسور، مثل 1.67، 2.60، الخ. ابتكر ماندلبروت مثل هذه الأمراض أثناء عمله في شركة IBM. قال ماندلبرو لريجيس: «لقد توصلت إلى معادلة مناسبة، وفي عام 1973 قمنا بتجميع مخطط ضخم للغاية لإنشاء خطوط ساحلية صناعية. ... في بعض الأحيان كان علينا أن نجلس طوال الليل مع المتآمرين. ولكن عندما ظهر الخط الساحلي الأول أخيرًا، اندهشنا جميعًا. يبدو تماما مثل نيوزيلندا! كانت هنا جزيرة طويلة، مربعة جدًا، وأبعد من جانب واحد، شوكتان تشبهان جزيرة باونتي... رؤيتهما كان لها تأثير كهربي على الجميع... الآن، بعد رؤية صور الساحل، اتفق الجميع معي على ذلك كانت الفركتلات جزءًا من جوهر الطبيعة."

بدأ علماء الرياضيات في عام 1983 العمل على مجموعة ماندلبروت وتكبير الشكل، ورأوا أن أحد ذراعيها متصل به ذراع أخرى، وهي تشبهه تمامًا. ويتفرع منه بشكل متعرج، مثل نوع من ضربة البرق. يمكن أيضًا تكبير الصورة بأكملها ومن ثم يمكنك تصغيرها والحصول على ألياف أصغر حجمًا، وتنكسر عند نقاط معينة. وإذا كان هناك خط متعرج واستمررت في التكبير، تجد أن هناك المزيد والمزيد من الألياف التي تخرج من هذا الخط وتتجول داخل وخارج. عليك أن تبذل بعض الجهد لرؤيتها، لأنها على حافة القدرة على الرؤية، وفي تلك الأيام لم يكن الكمبيوتر يستطيع تكبير أكثر من ذلك.

في الثمانينيات حاول علماء الرياضيات فهم بنية وسلوك هذا الشيء، وهو شيء اعتقدوا في الواقع أنه غير موجود في عالمنا على الإطلاق. أدرك أن هذا ليس كيانًا آخر تم إنشاؤه بواسطة الكمبيوتر والذي تراه من وقت لآخر في المجلات عالية التقنية، ولكنه شيء حقيقي، ولكنه في نفس الوقت شيء لا ينتمي إلى هذا العالم. وتبقى الحقيقة أن الشكل الذي كان موجودًا على شاشة الكمبيوتر هو كائن رياضي، وتجريد كامل.

في ذلك الوقت كان يعتقد أن الفراكتل هو الكائن الأكثر تعقيدا في الرياضيات. حتى ذلك الحين، كان علماء الرياضيات يتعاملون مع كيانات دقيقة أو نظيفة، شيء له منطق خلفه، نظام رياضي، أي النظام الرياضي القديم والمألوف للرياضيات الكلاسيكية والهندسة الإقليدية. ولكن بعد ذلك جاء الفراكتل. انه يبدو جميلا للعيون. بدأ علماء الرياضيات في دراستها ليس لأنها مفيدة لشخص ما، ولكن لأنها جميلة للعين. قال البروفيسور جون ميلنور من معهد الدراسات المتقدمة في برينستون عام 1983 لريجيس عندما درس الكسورية: "إن دافعي هو الجمالي في المقام الأول، فأنا أنظر إلى هذه الأشياء لأنها جميلة في حد ذاتها". قال ميلنور في ذلك الوقت: «بالنسبة لبعض الناس، الدافع الرئيسي هو أن البحث في هذه الأشياء قد يكون فعالاً. بالنسبة لي شخصيا، المنفعة هي مجرد نتيجة ثانوية سعيدة." ومع ذلك، كان ميلنور على علم بأن دراسة الفركتلات لها تطبيقات. في ذلك الوقت، انفجرت دراسة الفوضى في الوعي ومعها تطبيق الفركتلات على الأنظمة الديناميكية.

وتعجب ميلنور من أنه "لا يزال هناك مستوى من التكبير المحتمل أكثر دقة مما ننظر إليه الآن". أثناء النظر عبر شاشة الكمبيوتر في الثمانينيات، قال ميلنور: "في الواقع لا توجد نقطة توقف متأصلة، وهذا جزء من لغز الشكل الذي أمامنا: كلما قمت بتكبير كل جزء منه، كلما زادت الهياكل التي سوف يكتشف من الداخل." إنها مثل سلسلة لا تنتهي من الصناديق الصينية." ومن خصائص الفراكتل أنه متشابه ذاتيًا. بمعنى آخر، كما لو كنت تضع مرآة داخل مرآة على كل جزء أصغر من الفركتل. أطلق ماندلبروت على هذه الميزة اسم "عامل القياس" (تصغير الشكل أو تكبيره، "قياس")، مما يعني أن الشكل هو نفس الشكل بغض النظر عن المستوى الذي تنظر إليه إلى الكائن.

في الواقع، من الناحية الرياضية، النظر إلى الفراكتل هو تمثيل مرئي لدالة عددية يتم تكرارها مرارًا وتكرارًا. وأوضح ماندلبروت لريغيس، أن "مجموعة ماندلبروت هي مجموعة من الأعداد المركبة التي لها الخاصية، والتي تقوم بعملية معينة ثم تربيع. خذ رقم z ومربع z وأضف c. ثم قم بتربيع النتيجة وأضف c. خذ النتيجة وقم بتربيعها وأضف إليها c، وقم بذلك عدة مرات. في الأساس، في كل مرة تحصل على نتيجة، عليك التحقق لمعرفة ما إذا كنت قد تركت دائرة نصف قطرها 2، وترسمها على الرسم البياني. مع الاستمرار، يتم رسم المجموعة بمزيد من التفاصيل. لكن كل ما تفعله في الواقع هو ضرب شيء ما في نفسه، ثم إضافته إلى نفسه: z تربيع زائد c؛ الكل تربيع زائد ج؛ كل شيء تربيعه زائد ج."

وأوضح ماندلبروت أن مجموعة ماندلبروت هي نتيجة تسمية الدالة البسيطة (z2 + c) بشكل متكرر عند استخدام الأعداد المركبة كقيم بداية. وقال ماندلبروت إن "مجموعة ماندلبروت تظهر بشكل خاص سلوكًا متطرفًا". وأضاف: "الظاهرة التي تميز الفركتلات هي أن هناك صيغة بسيطة للغاية والنتيجة هي تعقيد غير عادي. إنه لأمر مدهش أن نكتشف أن سطرًا واحدًا من الخوارزمية، والذي لا يبدو مثيرًا للاهتمام في حد ذاته، سيؤدي إلى شيء بمثل هذه البنية غير العادية."

في ذلك الوقت، بدأ التفكير في الفركتلات في سياق الأنظمة الديناميكية والاضطرابات والأنظمة البيولوجية. لقد اعتقدوا أنه ربما يمكن للفركتلات أن تقدم نموذجًا لنظام الرئة والأوعية الدموية البشرية وبدأ ماندلبرو في رؤية الفركتلات في كل مكان في الطبيعة - في جميع الظواهر الطبيعية من المستوى الجزئي إلى المستوى الكلي وبشكل عام إلى ما لا نهاية... بدأ لإنتاج معادلات على جهاز الكمبيوتر الخاص به تحاكي بنية الظواهر الطبيعية مثل الأشجار والأنهار والجهاز الشرياني البشري والغيوم في السماء والظواهر الغريبة المختلفة. قال ماندلبروت أن "الفركتلات هي جوهر جسدنا!"

في عام 1983 بدأوا في مناقشة ما إذا كانت الهندسة الكسورية تنتهك على المستوى الجزيئي؟ كان ماندلبروت متحمسًا ورأى الفركتلات في كل مكان، ولكن لا يزال هناك حد. اعتقد ميلنور في ذلك الوقت، "إذا كنت على مقياس يصل إلى عشرة جزيئات وأكثر، فقد تكون الهندسة الكسورية صالحة من الآن فصاعدًا". ولكن تحت هذا الحد كان يعتقد أنه قد يتم انتهاك الهندسة الكسورية. وكان السؤال المطروح هو: "إذا قمت بتضخيم جزء من مجموعة ماندلبروت بشكل متكرر، فهل تصل إلى الحد الأقصى؟" كان ماندلبروت مشغولاً بمخلوقاته المفضلة وأطلق على إحداها اسم "التنين سان ماركو". وأوضح: "هذا استقراء جامح من قبل عالم الرياضيات لأفق كاتدرائية البندقية، بالإضافة إلى الانعكاس في الساحة التي غمرتها المياه". خوارزمية التنين بسيطة للغاية، فقط عشرين سطرًا وقم بتشغيلها. لقد قامت أشعة الكاثود في الثمانينيات بالمهمة وأنشأت كاتدرائية البندقية التي انعكست في الماء. ومنذ ذلك الحين اخترقت الفركتلات الدراسات العلمية في كل مكان...

يشرح ماندلبروت عن الفركتلات

كتاب ماندلبروت 1982

ماندلباليف - مجموعة ماندلبروت ثلاثية الأبعاد