مبارزة مصيرية

في الليلة التي سبقت المبارزة التي كلفته حياته وهو في العشرين من عمره، حاول إيفريست جالوا تطوير نظرية العناقيد، وهي اللغة الرياضية للتناظر. ماريو ليفيو مؤلف كتاب "لغة التماثل - المعادلة التي لم يتم العثور على حل لها" يحكي في مقابلة مع غاليليو عن علماء الرياضيات الذين ماتوا صغارا، عن أهمية التماثل وأيضا عن كسره

تم نشر المقال في مجلة جاليليو في شهر مايو

نتذكر جميعًا منذ المدرسة الثانوية صيغة إيجاد جذور المعادلة التربيعية. من المعروف بشكل غامض للكثيرين أن هناك صيغًا مماثلة لإيجاد حلول معادلات من الدرجة الثالثة وحتى الرابعة، لكن حتى أعظم علماء الرياضيات "علقوا" في الدرجة الخامسة عندما نفدوا هناك.
وظلت هذه المعادلات دون حل لأكثر من ثلاثمائة عام، حتى أثبت اثنان من العباقرة بشكل منفصل أن معادلات الدرجة الخامسة لا يمكن حلها بصيغ بسيطة. هؤلاء العباقرة - شاب نرويجي يُدعى نيلز هنريك أبيل وفرنسي يُدعى أوريست جالوا، اكتشفوا ذلك، وتوفي كلاهما بموت مأساوي. في الواقع، قضى جالوا الليلة الماضية قبل المبارزة القاتلة (عن عمر يناهز 20 عامًا) وهو يكتب ملخصًا لإثباته، وأحيانًا يكتب في الهامش "ليس لدي وقت". كما تم حل بعض الألغاز المحيطة بوفاته في الكتاب، بعد اختفائه لمدة 170 عامًا.
يمثل عمل جالاوا بداية المجال الرياضي المعروف باسم "نظرية الحزمة" أو "اللغة" التي تصف التناظر. تصف نظرية بانش شيئًا من جماليات عالمنا، ومطابقة المكعب المجري، وموسيقى باخ وموزارت، وفيزياء الجسيمات دون الذرية، وشعبية آنا كورنيكوفا.
"حتى الآن، لم يكن هناك كتاب شامل شعبي عن نظرية الكدمات وكان هناك سبب لذلك، لأنه ببساطة صعب للغاية. نظرية المجموعات هي واحدة من فروع الرياضيات الأكثر تجريدًا. كلما كانت الأشياء أكثر تجريدًا، كلما كان من الصعب نقلها بطريقة شعبية، لذلك كان التعامل مع هذه المادة بالذات ونقلها إلى كتاب شعبي تحديًا خطيرًا للغاية. يقول ماريو ليفيو في مقابلة خاصة أجراها مع غاليليو خلال زيارة قصيرة قام بها إلى إسرائيل. ليفيو، الذي ملأ في الثمانينيات قاعة تشرشل في التخنيون، وهي القاعة التي كانت تستخدم عادة للعروض، في محاضراته في دورات الفيزياء التمهيدية الجامعية. وقد عمل لمدة عقد من الزمن في مناصب مختلفة في المعهد العلمي للتلسكوب الفضائي، حيث يجلس مشغلو التلسكوب ومترجمو الصور الفوتوغرافية الخاصة به. من بين أمور أخرى، لديه فترة كمدير علمي للمعهد، ويعمل حاليًا في مجال المعلومات. هذا هو الكتاب الثاني لليفيو. كتابه الأول - قطع الزيفع أصبح من أكثر الكتب مبيعا، وأيضا في الطبعة العبرية التي نشرها أرييه نير. وتنشر نفس دار النشر الآن كتاب لغة التناظر - المعادلة التي لم يتم إيجاد حل لها.
"المعادلة التي لم يتم حلها هي الجزء الرائع من القصة." يقول ليفيو. "نظرية المجموعات هي لغة التناظر، لكن الطريق إلى اكتشاف هذه اللغة كان صعبا. لقد جاؤوا إليها من باب محاولة حل معادلة لم يرغب أحد في حلها. ومن هنا جاءت عبقرية بطل القصة لويس جالوا.
متوسط: ما هو التماثل
التماثل في نوع ما من النظام هو خاصية النظام التي عندما تفعل شيئًا ما بالنظام فإنه لا يتغير. إذن أنت تقول أن النظام متماثل في ظل هذا الإجراء. على سبيل المثال، سيدتي أنا آدم عبارة عن متناظرة، تقرأها من النهاية، هذه الجملة متماثلة في إطار عملية القراءة المحددة من النهاية إلى البداية. ومن ناحية أخرى، إذا قلنا أن قوانين الطبيعة متناظرة في ظل الدوران، فماذا نعني - أن قوانين الطبيعة لا تعتمد على الاتجاه. وهي لا تعتمد على ما إذا كنت أقيس الاتجاهات بالنسبة للمبنى المجاور، معًا نحو الشمال، وما إلى ذلك. إذا أخذت الكون وقمت بقلبه، فإن قوانين الطبيعة لن تتغير.
التماثل تحت النسخ. هذا هو نفس التناظر الذي تراه في قوانين الطبيعة - القوانين هنا هي نفسها الموجودة في ألاباما وفي الطرف الآخر من المجرة. حتى في البيوت هناك تناسق في هيكل المنزل. هناك تناسق في بنية ورق الحائط الموجود هنا في المقهى (جلعاد ودانيال، في شارع ديزينجوف في تل أبيب، ويمكنك رؤية قسم منه في خلفية صورة ليفيو، AB)، في أشياء كثيرة هناك تناظر في النسخ وأيضًا في الموسيقى.

كل شخص يتعامل مع الفيزياء يصادف نظرية العناقيد. قد تواجهها أكثر إذا كنت تتعامل مع فيزياء الجسيمات الأولية أو فيزياء الطاقة العالية، ولكن في الواقع، في معظم فروع الفيزياء، فإن الأشخاص حتى في مهنة بعيدة تمامًا عن مهنتي - الأشخاص الذين يتعاملون مع علم البلورات، وخصائص البلورات - كل شيء يتم إجراء الوصف هناك باستخدام نظرية الحزمة لأن هذا المجال بأكمله يتكون من التماثلات. النظريات الأساسية للفيزياء مبنية على التناظرات، وبالتالي فإن اللغة المستخدمة هي نظرية الحزم. وأردت أن أوصل في الكتاب رسالة أهمية التناظر ولغته.
"لنفترض أنه كان هناك رجل عجوز هنا منذ مليون سنة. أدار هذا الشخص رأسه، ولم تكن هناك مباني ولا سيارات. كانت هناك أشجار ورمال. أدار الرجل رأسه ورأى شيئًا متماثلًا، ما هو، حيوانًا آخر بالتأكيد. كان لا بد من تطوير دماغه بطريقة تمكنه من التعرف على مثل هذه التماثلات بسرعة ويتعلمها بسرعة. إذا لم يتعلمها قد يكلفه حياته. وهذا هو أحد الأسباب وراء تطور دماغنا بطريقة تجعله حساسًا جدًا للتناظرات. سبب آخر لتطور الدماغ بهذه الطريقة هو اختيار الشريك. على سبيل المثال - عندما تحتاج أنثى الطاووس إلى العثور على شريك، فإنها تبحث عن شريك ذو جينات قوية. طريقة التعرف على الجينات الجديدة هي من خلال النظر إلى ذيله. إذا كان ذيله متماثلًا تمامًا، فيمكنها التأكد من أنه يمتلك جينات قوية. السبب بسيط. هناك الملايين من طفيليات الدواجن. وعندما تهاجم هذه الطفيليات الطاووس، يصبح ذيله أشعثًا وغير متماثل. إذا رأت الذيل متناظراً، فهذه علامة على أن هذا الذكر بالتحديد تمكن من السيطرة على الطفيليات، وهي علامة على أن لديه جينات قوية. من المهم أن نفهم أن التماثلات تلعب دورًا مهمًا جدًا ليس فقط في قوانين الفيزياء - فليس كل الناس يتعاملون مع قوانين الفيزياء كل يوم ولكن أيضًا في مجالات أخرى من الحياة، وليس من قبيل الصدفة أن يبدع موزارت أو غيره من الملحنين هذا التماثل في موسيقاهم. هذا هو الشيء الذي يمنحنا المتعة. كما أنها توفر لنا الراحة."

"أحد السمات الرئيسية هو الإغلاق، إذا أخذت عضوين من المجموعة ووحدتهما من خلال عمل المجموعة، فستحصل على عضو آخر في المجموعة. على سبيل المثال، كل الأعداد الصحيحة، مع عملية جمع حسابية بسيطة تشكل مجموعة. إذا أخذت عددًا صحيحًا وأضفت إليه عددًا صحيحًا آخر، فستحصل أيضًا على عدد صحيح. لقد أخذت أحد أفراد العصابة ونفذت الإجراء عليه مع عضو آخر من العصابة، وحصلت على عضو ثالث من العصابة".
"ما الذي يوجد في التناظر الذي يمنحها مسألة الإغلاق هذه؟ إذا نظرت إلى مجموعة جميع تماثلات نظام ما، فستجد دائمًا مجموعة من جميع تماثلات النظام. كيف يمكنني إظهار الإغلاقات؟ دعونا نتخذ إجراء القيام بشيء بعد شيء آخر. لنفترض أن لدي إجراءً واحدًا يكون النظام متماثلًا بشأنه. إذا كان لديك نظام ولديه نوع من التماثل، فهذا يعني أنه عند إجراء العملية على النظام فإنه لا يتغير. على سبيل المثال، إذا أخذت ندفة ثلج وأدرتها ستين درجة حول مركزها فإنها تظل كما هي. هذا هو تناظر ندفة الثلج. إذا قمت بتدوير ندفة الثلج بمقدار 120 درجة، فستظل أيضًا كما هي. سنقوم بتنفيذ الإجراءات واحدة تلو الأخرى. سنقوم بتدويره بمقدار ستين درجة وبعد ذلك بمقدار 120 درجة. قمنا بقلبها 180 درجة وحتى ذلك الحين ظلت كما هي. لقد كانت عبقرية جالوا، أن يفهم أن هذه الكدمات تصف فجأة كل التماثلات."

متوسط: كسر التماثل
ومع ذلك، وعلى الرغم من كل ما قيل، فإن الطبيعة ليست متماثلة. إذا كانت متناظرة تماما، فلن يكون هناك مجال للتعقيد. وهنا يقدم ليفيو مثالاً من المجال القريب من قلبه: "على سبيل المثال، إذا كان عدد الجسيمات في الكون هو نفس عدد الجسيمات المضادة في الكون، فسوف تفني جميعها بعضها البعض، أي: من التأين لن يتبقى شيء ولن نترك للحديث عنه. هناك جزء صغير - جزء واحد من ثلاثة مليارات، كان هناك عدد قليل من الجزيئات أكثر من الجسيمات المضادة. دمرت جميع الجسيمات والجسيمات المضادة بعضها البعض، ولم يبق سوى جزء صغير - واحد من كل 3 مليارات. إنها تخلق كل المادة الباريونية التي نراها في الكون.
كما أن تماثل جسم الإنسان وجسم زوجي غير متماثل ومن الواضح أنك إذا عبرت الوجه في الصورة وكررت النصف الآخر هناك، فلن تحصل على نفس الوجه بالضبط. من المؤكد أن الجزء الداخلي من الجسم ليس متماثلًا، وكذلك أداء الدماغ. يقدم Livio أيضًا تفسيرًا ميكانيكيًا للتماثل الخارجي. في ظروف الجاذبية الأرضية هناك فرق بين الجزء العلوي من الجسم والجزء السفلي. عند الحيوانات هناك تفضيل لوضع أعضاء الحواس في الجزء الأمامي من الجسم. بالنسبة للحيوان سريع الحركة من المهم أن تكون لديه كل الحواس في المقدمة ليعرف أين يتحرك للأمام، وهكذا. والدليل، بين الكائنات التي لا تتحرك كثيرًا مثل النباتات، لا يوجد عادة فرق بين الأمام والخلف، ولكن من الواضح أن لديهم فرقًا بين الأعلى والأسفل. والحيوانات التي تتحرك ببطء شديد، مثل قناديل البحر، لها تماثلات أسطوانية. لا ترى تغييرًا كبيرًا بين الأمام والخلف. لكن ليفيو يعترف بأن هذا ليس تفسيرا مثاليا أيضا، لأنه اتضح أنه حتى في عملية التطور من الخلية إلى الكائن الكامل، هناك مراحل متناظرة وغير متناظرة. هناك كسر آخر مشهور للتناظر يُعرف باسم عدم التناظر - فالأحماض الأمينية هي مركبات في البروتينات. جميع الحيوانات والنباتات على وجه الأرض، دون استثناء، تستخدم الأحماض الأمينية التي تسمى "أعسر". يمكن بناء هذه المجموعة بأكملها من الأحماض الأمينية "اليمنية". ربما يرجع هذا إلى نفس سبب استخدام Microsoft في جميع أنحاء العالم. هذا لا يعني أن نظام التشغيل الخاص بشركة Microsoft هو الأفضل، ولكن بمجرد تولي أحدهم المسؤولية، يجب على جميع الآخرين أيضًا معرفة كيفية التحدث باسم Microsoft، وإلا فلن يتمكنوا من العمل.

ويتخلل الكتاب أمثلة عديدة من مجالات عديدة: من الفنون مثل الرسم والشعر والموسيقى وغيرها، إلى الوثائق التاريخية الأصلية المتعلقة بحياة البطلين - جالوا وهابيل. "لقد استخدمت الناس لقراءة المستندات الأصلية." قال ليفيو. "أنا أتحدث الفرنسية ولكن ليس لدي السيطرة الكاملة على الفرنسية. بالتأكيد عندما يتعلق الأمر بالفرنسية من القرنين الثامن عشر والتاسع عشر، فقد استخدمت الأشخاص الذين يتحدثون الفرنسية. لدي فهم أساسي لفهم اللغة الإيطالية، ولكن هناك ما يكفي من الإيطاليين من حولي على أي حال. وساعدني أيضًا أشخاص يعرفون اللاتينية، ويتحدثون اللغة السويدية، وهي لغة قريبة من اللغة النرويجية، كما اتصلت بباحث نرويجي كتب سيرة شاملة عن أبيل، وتحدثت معه. إن معرفة الموسيقى والفن هي نتيجة هوايتي. أحب الفن والموسيقى، ولدي الكثير من الكتب حول هذه المواضيع، وأزور المعارض والحفلات الموسيقية بانتظام. لقد جاء الأمر بشكل طبيعي تمامًا، ولم أضطر إلى بذل أي جهد في ذلك. لا أقدم نفسي كخبير في هذه الأمور، لكني أعرف القليل منها، ببساطة لأنني أحب ذلك".

نظرية لم تكن في الهواء
عندما تنظر إلى تاريخ العلوم والرياضيات، تجد أن الكثير من الأشياء المهمة التي تم اكتشافها كانت موجودة بالفعل في الهواء بطريقة أو بأخرى. حتى النسبية الخاصة على سبيل المثال، لو لم يفعلها أينشتاين، لكان شخص آخر قد توصل إلى المعادلة، وكاد بوانكاريه أن ينجح. هناك الكثير من الأشياء التي كانت في الهواء. هناك عدد قليل جدًا من الاكتشافات التي لم تكن في الهواء عندما تم اكتشافها. لا يعني ذلك أنه ليس لديهم بعض الجذور، ولكن إذا لم يتم اكتشافهم بواسطة من اكتشفهم، فسيستغرق اكتشافهم سنوات عديدة.
مثال على ذلك النظرية النسبية العامة. لو لم يفكر أينشتاين في ذلك، فمن المحتمل أن تمر سنوات عديدة قبل أن يأتي شخص ما بمثل هذه الفكرة، ونظرية جالوا هي شيء من هذا القبيل. لم يتحدث أحد عن الكدمات حتى جاء جالوا بنظرية الكدمات ولم يتحدث أحد عن الكدمات. لم يكن هناك شيء في الهواء. وفجأة تم اكتشاف أن هذه هي خصائص التماثل للمعادلة التي تكشف أي من المعادلات لها حل أم لا. ولهذا السبب، فإن هذا الاكتشاف جميل جدًا لأنه أحد تلك الاكتشافات النادرة التي نمت داخل عقل شخص ما ولم تكن ناضجة بالفعل وتنتظر فقط شخص ما أن يكتبها على الورق."
"يقولون أن علماء الرياضيات والشعراء يموتون في سن مبكرة. ربما لا يعني ذلك أنهم يجب أن يموتوا موتًا بيولوجيًا كما حدث بالفعل للبطلين، ولكن أن معظم أعمالهم المهمة تحدث في سن مبكرة، على سبيل المثال الرسامون والكتاب والعمال في منتصف العمر عادةً والفلاسفة في الأعمار الأكبر. . في الرياضيات والشعر، لا تحتاج إلى قراءة موسوعات كاملة لتتمكن من القيام بشيء ذي معنى. إن حقيقة كونك شابًا، ولم تتأثر بعد بأشخاص آخرين، ولا تشعر أنه يتعين عليك العمل في مجالات يعمل فيها الآخرون وما إلى ذلك، هو ما يمنح الشعراء وعلماء الرياضيات الفرصة لتحقيق اختراقات في أعمار صغيرة جدًا. هذا لا يعني أنه لا توجد استثناءات. واصل غاوس العمل وقام بعمل رائع في الرياضيات حتى شيخوخته. هناك استثناءات كافية، ولكن هذا صحيح إلى حد كبير. في الرياضيات والشعر ترى أشخاصًا يصنعون أفضل أعمالهم في سن مبكرة. في بعض الأحيان قليلًا في الموسيقى، لا يمكنك القول إن موزارت قام بتأليف أفضل أعماله عندما كان أصغرهم سنًا، ولكن حتى عندما مات كان يبلغ من العمر 35 عامًا، وهو صغير بما فيه الكفاية.

ألا تُرهق المؤسسة الأكاديمية العباقرة؟
هناك عباقرة حتى اليوم، يتمكن الناس من العمل حتى في المؤسسات القائمة. ومن ناحية أخرى هناك المزيد من الاتصالات. الجميع على رسائل البريد الإلكتروني. ومع ذلك، لا تزال ترى بعض علماء الرياضيات الشباب يقومون بأشياء رائعة في الفيزياء أيضًا. أشخاص مثل إد ويتن الذين حققوا اختراقات مذهلة (نظرية الأوتار). وحتى في الهيكل الأكثر مؤسسية، لا يزال هناك مجال للعباقرة والاختراقات.
أعتقد أن العباقرة الحقيقيين سيجدون الطريقة لتحقيق اختراقاتهم الخاصة. اليوم، أصبح عزل نفسك أكثر صعوبة بعض الشيء، ففي الفيزياء اليوم تحتاج إلى خلفية عميقة حتى تتمكن من الوصول إلى إمكانية إنشاء شيء مهم. وليس من قبيل الصدفة أنه في بداية القرن العشرين كانت هناك فترة كبيرة من الاكتشافات في الفيزياء ثم توقفت الأمور قليلا. تم إنشاء فروع كاملة بعد ذلك - النسبية، نظرية الكم، كان هناك مكان لاكتشاف أشياء جديدة. ثم عندما تصبح الأمور أكثر تعقيدا، يصبح من الصعب اكتشاف الاكتشافات المحلية.
ولكن أبعد من ذلك، يجب أن نتذكر أن هناك حاجة اليوم إلى أدوات هائلة لتوفير هذه الاكتشافات. وفي عام 2007، سيبدأ المسرع الكبير في جنيف العمل. والتوقع هو أننا بعد عام من التجارب سنصل إلى إنجازات كبيرة. أستطيع أن أخمن أنهم سوف يرون هيغز لأنهم إذا لم يروا بوزون هيغز - وهو جسيم دون ذري بعيد المنال بشكل خاص، فسيكون ذلك مفاجأة كبيرة. قد يكتشف Super Symmetry ذلك وقد لا يكتشفه. إذا اكتشفوا ذلك فسيكون هناك دفعة كبيرة لأنه سيقول أن هذا الاتجاه صحيح. إذا لم يكتشفوا ذلك، فسيكون الأمر أكثر إشكالية لأنه سيتعين عليهم بعد ذلك شرح سبب عدم الكشف.
ونأمل أن يخضع تلسكوب هابل الفضائي لمهمة خدمة أخرى ومن ثم سيكون هناك جهازين جديدين على هذا التلسكوب أحدهما الكاميرا الأكثر تطورا والتي ترى أيضا في الأشعة تحت الحمراء وستسمح بصور أوسع مع حساسية أكبر في الأشعة تحت الحمراء و سيتم تركيب مطياف جديد فيه بشكل رئيسي في مجال الأشعة فوق البنفسجية والذي سيسمح أيضًا مرة أخرى باكتشاف الهياكل، خاصة في الوسط بين النجوم وبين المجرات. نأمل في عام 2013 أن يتم إطلاق تلسكوب جيمس ويب، والذي سنديره أيضًا (في معهد علوم التلسكوب الفضائي) والذي سيظهر لنا المجرات الأولى في الكون. في كل مجال من مجالات الفيزياء تقريبًا، يتم تصميم جهاز لإجراء تجربة كبيرة. سيتم إطلاق تلسكوب بلانك الفضائي خلال عام أو عامين وسيقوم بفحص إشعاع الخلفية بحساسية أكبر بكثير من WMAP. بالنسبة لبعض التجارب، تحتاج إلى كنوز دولة ما، وفي بعض الأحيان لا تكون حتى دولة بل قارة بأكملها، وفي المسرع تكون موارد قارة أوروبا بأكملها، وفي المركبات الفضائية - الولايات المتحدة الأمريكية. أنا متفائل بأن السنوات الخمس عشرة القادمة ستجلب اكتشافات رائعة. ليس لدي شك في هذا.

يقول ليفيو إن أهم رسالة في كتابه هي أن الناس سوف يفهمون أهمية التماثل، أقل في مسائل ورق الحائط من قوانين الطبيعة وسوف يرون جمال لغة التماثل الرياضية وأيضا أنهم سيرون الإبداع ، وخاصة زوج هؤلاء الأشخاص، ولكن من الواضح أنهم فعلوا ذلك. ومن المهم أيضًا تعزيز العلاقات العامة في مجال الرياضيات. "أنا متأكد من أن هناك العديد من الأشخاص الذين لا يدركون بالضبط مدى أهمية الرياضيات بالنسبة لهم على الإطلاق. لكن في الواقع، أصبحت الرياضيات اليوم تدخل حرفياً في جميع مجالات الحياة، بدءاً من تحليل سلوك البورصة وانتهاءً بالبحث في مجال العلوم الاجتماعية. هناك مجلة علم الاجتماع الرياضي - التي تتناول العمليات الاجتماعية وتبين أنه من الممكن تحليلها باستخدام النماذج الرياضية. يتمكن الناس من صنع نماذج للعلاقات الاجتماعية تبدو تقريبًا مماثلة لنماذج الجزيئات في الكيمياء. تُستخدم نظرية المجموعة أيضًا في هذه الدراسات، من بين أمور أخرى، عندما درسوا بنية الزواج وانتماء الأطفال في القبائل الأصلية، اكتشفوا الهياكل والأنماط التي لا يمكنك رؤيتها إلا من خلال الرياضيات.

وفي إحدى الحالات النادرة يستطيع الكاتب قراءة ترجمة كتابه إلى اللغة العبرية. ليفيو يكمل إيمانويل لوتيم، المترجم. "لقد راجعت الترجمة ليس لتغيير أي شيء في الأسلوب اللغوي، ولكن ربما للتحقق عندما كتبت النص باللغة الإنجليزية من شيء لم يكن واضحًا تمامًا. ولأنني أقرأ العبرية، هناك ميزة إضافية، وهي أنني أستطيع أيضًا قراءة النسخة العبرية، وهو ما لا أستطيع القيام به في أي لغة أخرى تقريبًا وأريد أن أقول إن الترجمة رائعة."

نسبة تساوي الذهب - في كتاب البروفيسور ماريو ليفيو السابق - النسبة الذهبية

19.12.2003

منذ المدرسة الإعدادية، نعرف جميعًا "Phi" (9) - الحرف اليوناني الذي كانت قيمته 3.14. الأقل شهرة هو الحرف "pi" (حرف p فضفاض، مع علامة r)، والمعروف أيضًا باسم "النسبة الذهبية" أو "النسبة الذهبية". وهي نسبة هندسية تعبر عن علاقة متناغمة. على سبيل المثال، إذا تم قطع خط معين AB عند نقطة ما C، فإن النسبة بين طول المقطع AC وطول المقطع CB ستكون هي نفس النسبة بين AB وAC. يتم التعبير عن النسبة الذهبية بثابت قيمته حوالي 1.618.

على مر التاريخ، ارتبطت النسبة الذهبية بالعديد من الأساطير، والتي نعرضها الآن في كتاب جديد بعنوان «النسبة الذهبية» (نشره أرييه نير)، بقلم عالم الفيزياء الفلكية الإسرائيلي البروفيسور ماريو ليفيو. ليفيو، محاضر وباحث سابق في التخنيون، يشغل حاليًا منصب رئيس القسم العلمي في معهد التلسكوب الفضائي الأمريكي. ويقول ليفيو، على سبيل المثال، إن بذور التفاحة مرتبة على نمط النجمة الخماسية، حيث تساوي النسبة بين كل جانب من جوانبها "النسبة الذهبية". وكذلك العلاقة بين موضع الأوراق على طول الساق، وقشور مخروط الصنوبر والأناناس، وكذلك البلورات، وعباد الشمس، والعديد من أشكال المجرات. منذ أيام اليونان القديمة، شغلت النسبة الذهبية علماء الرياضيات والفلاسفة والعلماء والفنانين.
استخدم الرسامون والمصممون والموسيقيون النسبة الذهبية لتحقيق انطباع بصري أو صوتي في أعمالهم. حتى أن أتباع فيثاغورس اعتقدوا أنه كشف عن إصبع الله.