كنت أعرف جون ناش

الدكتور زيف هيلمان المحاضر في قسم الاقتصاد في جامعة بار إيلان يتحدث عن معرفته بعالم الرياضيات الحائز على جائزة نوبل في الاقتصاد جون ناش وزوجته اللذين لقيا حتفهما هذا الأسبوع في حادث سيارة وأيضا عن توازن ناش، ويتساءل ماذا كان سيحدث لو لم يهاجم المرض العقلي ناش

بقلم الدكتور زيف هيلمان
يوم الأحد وصلتني رسالة من صديق. لقد علمت أنه بقي لدينا فجأة 40 دقيقة في مؤتمر كبير حول نظرية اللعبة سيعقد في القدس في نهاية يونيو. وجهتني الرسالة إلى أحد المواقع الإخبارية مع توضيح للثغرة التي حدثت في جدول المؤتمر: مقتل الحائز على جائزة نوبل جون ناش وزوجته في حادث سيارة في ولاية نيوجيرسي، بينما كانا يستقلان سيارة أجرة من المطار إلى منزلهم.

استغرق الأمر مني بضع دقائق لاستيعاب الأخبار. ولن يتحدث جون ناش في المؤتمر، لا في إسرائيل ولا في أي مكان آخر. ولن نراه يقف على منصة المحاضرة مرة أخرى، تشع منه ابتسامته الخجولة. وبعد كل الصعوبات التي مر بها، انتهت حياته في ثانية واحدة بسبب عدم سيطرة سائق سيارة أجرة على مقود سيارته. لقد رحل جون ناش.

إن قصة حياة جون ناش معروفة في جميع أنحاء العالم، وربما أكثر من قصة حياة أي عالم رياضيات آخر في السنوات الأخيرة. وذلك بفضل فيلم "عجائب العقل" الذي حصل على العديد من جوائز الأوسكار. تم إنتاج الفيلم منذ 14 عامًا، لكن حتى يومنا هذا وأنا أقوم بتدريس مفهوم توازن ناش لطلاب الجامعة، يكفي أن أذكر أن ناش هو بطل ذلك الفيلم حتى يعرف الجميع من هو بالضبط.

لقد نال الفيلم الكثير من الاهتمام، لأسباب ليس أقلها أن القصة في مركزها تحتوي على عناصر أي قصة ناجحة تقريبًا: بطل قصة موهوب وموهوب، ورجل جذاب أمامه مستقبل مشرق، مجبر على مواجهة مشكلة. أزمة حادة (في هذه الحالة هلوسة مرض نفسي) تفقده كل عزيز عليه على الرغم من التراجع، تمكن بطلنا من النهوض بمفرده، وإخضاع الشياطين الداخلية في روحه، والعودة إلى العقل، وحتى الفوز بأعلى تقدير يُمنح للعالم، وهو جائزة نوبل.

وفي حالة جون ناش، فإن الحبكة ليست من نسج خيال كاتب سيناريو هوليود، لكنه قال الحقيقة. بعد حصوله على درجة الدكتوراه بمرتبة الشرف في جامعة برينستون عام 1950، انضم ناش إلى أعضاء هيئة التدريس في قسم الرياضيات في جامعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا المرموقة. وهناك بدأ في تطوير مسيرة مهنية مبهرة، وحقق عدداً من الإنجازات المذهلة في وقت قصير، حتى تم اكتشاف الفصام الذي كان يعاني منه. في عام 1959، بدأت فترة طويلة من التدهور. وفي سبعينيات القرن الماضي، أطلق عليه طلاب قسم الرياضيات في جامعة برينستون لقب "شبح القسم" لأنه كان يتجول في أروقة مباني الحرم الجامعي ليلاً ويكتب صيغًا غير قابلة للفك على سبورات الفصول الدراسية.

ببطء، تمكن ناش من العودة إلى عقله وحتى العودة إلى صفوف الأكاديمية كباحث. وفي عام 1994، وبعد إقناع أعضاء لجنة جائزة نوبل في الاقتصاد بأن حالته العقلية مستقرة بما فيه الكفاية، حصل على الجائزة عن نظرية التكافؤ التي أثبتها في أطروحته للدكتوراه عام 1950، والمعروفة أيضًا باسم التكافؤ الذي يحمل اسمه.

في كل يوم، في كل قسم من أقسام الاقتصاد حول العالم، تُسمع عبارة "توازن ناش" مرات لا تحصى. روجر مايرسون، أستاذ الاقتصاد في جامعة شيكاغو والحائز على جائزة نوبل، قارن أهمية توازن ناش في دراسة الاقتصاد بأهمية فهم بنية الحمض النووي في علم الأحياء. ومن المستحيل ببساطة أن نتصور البحث في مجالات كاملة في اقتصاد اليوم دون حجر الزاوية في توازن ناش. علاوة على ذلك، يُستخدم هذا المفهوم كعنصر مركزي مهم في مجموعة متنوعة من المجالات، بدءًا من علم الأحياء التطوري وعلوم الكمبيوتر والذكاء الاصطناعي وحتى علم النفس والعلوم السياسية.

الفكرة الرئيسية وراء SHM Nash بسيطة نسبيًا. في اللعبة، كما نعلم، يختار كل لاعب استراتيجية. يحدد مجمل استراتيجيات اللاعبين نتيجة اللعبة التي يتم منها اشتقاق المدفوعات لكل لاعب. يسعى كل لاعب إلى اختيار إستراتيجية تضمن له الحد الأقصى من الأرباح، ولكن لا يمكنه تجاهل حقيقة أن دفعاته تعتمد أيضًا على استراتيجيات اللاعبين الآخرين.

لنفترض أن اللاعبين اختاروا استراتيجياتهم، ولكن قبل بدء اللعبة مباشرة، تم الكشف عن قائمة استراتيجيات اللاعبين الآخرين لأحد اللاعبين. هل سيغير هذا اللاعب المحظوظ استراتيجيته في الدقيقة 90 بعد المعلومات التي تلقاها؟ ليس من الصعب تخيل العديد من المواقف التي سيحدث فيها هذا بالضبط - فكل مؤسسات الاستخبارات والتجسس موجودة لهذا الغرض.

توازن ناش هو حالة خاصة حيث لا يحدث هذا. أي أن توازن ناش عبارة عن مجموعة من الاستراتيجيات التي تحافظ على خاصية أنه حتى لو كشفنا كل شيء للاعبين وكانت هناك معرفة مشتركة حول الاستراتيجيات التي يتم لعبها، فلن يكون هناك حافز لأي لاعب لتغيير اختياره من جانب واحد لأنه لا يمكن أن يخسر إلا إذا اتخذ مثل هذه الخطوة. يشبه توازن ناش عقد التنفيذ الذاتي. من خلال وجودها ذاته، فإن كل لاعب، انطلاقًا من حافز عمودي تمامًا، سيفعل ما هو متوقع منه.

ووفقا لهذا الوصف، يتم تصوير إس إتش ناش على أنه حالة خاصة ونادرة. في الواقع، من السهل أن نفكر في الألعاب التي لا توجد فيها "إستراتيجيات خالصة". وخير مثال على ذلك هو لعبة "الصخرة والورق والمقص". على سبيل المثال، إذا كنت أنوي اللعب "بالورقة" لكن في اللحظة الأخيرة علمت أن خصمي سيلعب "المقص"، بالطبع سيكون لدي حافز لتغيير استراتيجيتي لاختيار "الحجر" بدلاً من "الورقة". ليس من الصعب أن نرى أنه مقابل كل زوج من الاستراتيجيات في هذه اللعبة، يجب على أحد اللاعبين تغيير اختياره دائمًا.

لكن لنفترض أننا سمحنا للاعبين بلعب "استراتيجيات مختلطة"، أي أن كل لاعب يمكنه اختيار الإجراء الذي يريد لعبه بشكل عشوائي، وفقًا لاحتمال معين. لذلك يمكننا بسهولة العثور على قيمة ناش في هذه اللعبة: إذا اخترت "حجر" باحتمال الثلث، و"ورقة" باحتمال الثلث، و"مقص" باحتمال الثلث، واستخدم خصمي بنفس الاستراتيجية المختلطة، فمن الواضح أنه لن يكون لدى أحد ميزة الانحراف الأحادي الجانب عن هذا النمط. ولذلك فإن هذا الحل يحقق شرط ناش.

كان إنجاز ناش العظيم هو إثبات أنه إذا سمح باستراتيجيات مختلطة، ففي كل لعبة (مع عدد محدود من الإجراءات الممكنة) يوجد دائمًا، دون استثناء، ناش واحد على الأقل. هذه النتيجة ليست سهلة وفورية. وقد طبق ناش في أطروحته للدكتوراه نظريات ثقيلة من دراسة "نقاط السبت" من أجل التوصل إلى برهان أكسبه شهرة على مدى أجيال.

ليس هناك شك في أن جون ناش سيُذكر بشكل رئيسي بسبب التوازن الذي سمي باسمه، ولكن كان لناش العديد من المساهمات الأخرى، في نظرية الألعاب بشكل خاص والرياضيات بشكل عام. يُظهر بعضها عمقًا أكثر إثارة للإعجاب من التألق الكامن وراء نظرية التوازن الشهيرة. ومن بين مساهماته مفاهيم الحلول لألعاب المساومة والألعاب التعاونية، ونظريات حول اللوحات في الهندسة الجبرية، والنتائج الرائدة في دراسة المعادلات التفاضلية ونظرية الإسكان العميقة بشكل خاص في الهندسة.

إنه قصير جدًا لوصف كل هذه النتائج. لا يمكننا إلا أن نلمس طرف الشوكة في قانون الإسكان. حساب الكرة، أي مساحة سطح الكرة، مثل قشر البرتقال أو القشرة الأرضية. محليًا، يمكن وصف منطقة صغيرة حول كل نقطة على الكرة بأنها مستوى ثنائي الأبعاد - ففي نهاية المطاف، هذا هو بالضبط ما نفعله عندما نرسم خريطة لمدينة أو بلد على ورقة مسطحة. لكن على الرغم من أن الكرة تشبه محليًا مستوى ثنائي الأبعاد، إلا أننا نعلم أنها تقع داخل فضاء ثلاثي الأبعاد.

ويمكن تعميم هذه المفاهيم على أبعاد أعلى. "الورقة" ذات الأبعاد n هي بنية هندسية تشبه محليًا الفضاء الإقليدي ذو الأبعاد n. هناك حالات حيث تكون الورقة ذات الأبعاد n متداخلة بشكل طبيعي ضمن مساحة ذات أبعاد أكبر. ولكن هل هذا صحيح بالنسبة لكل ورقة؟ في نظرية الإسكان، أظهر ناش أنه في ظل ظروف معينة تكون الإجابة نعم، يمكن وضع كل ورقة داخل الفضاء الإقليدي. حتى أن ناش قام بحساب الحد الأعلى للبعد اللازم لإيواء ورقة ذات أبعاد n، لأي عدد طبيعي n.

كان لجون ناش كل هذه الإنجازات في رصيده قبل أن يبلغ الثلاثين من عمره، وقبل أن يأخذ المرض العقلي سنوات من حياته. على الرغم من أن ناش عاد على مر السنين إلى النشاط الأكاديمي والبحثي، إلا أنه في الحقيقة لم يتمكن من إعادة إنتاج النجاحات الرائعة التي حققها في شبابه. امتلأت القاعات بجمهور كبير للاستماع إلى محاضراته، من باب الفضول والتبجيل، لكن جودة النتائج التي قدمها كانت سيئة مقارنة بالتوقعات الكبيرة التي نشأت عن سمعته. لا يسع المرء إلا أن يندم على خسارة الرياضيات والعالم ويتخيل ما كان سيفعله لو لم يعاني من مرضه.

وصفه معارف الشاب جون ناش بأنه سريع التفكير، وطموح، بل ومغرور في شخصيته. وأنا، الذي عرفته في السنوات الأخيرة فقط، أتذكر رجلاً مختلفًا تمامًا عن هذا الوصف. أتذكر جون ناش الهادئ والخجول، وربما كان محرجًا بعض الشيء من مقدار الاهتمام الذي ركزه الفيلم حول حياته حوله. لقد اكتشفت شخصًا ودودًا، وكان على استعداد للحديث عن أبحاثه الرياضية، بدءًا من الزواج في نظرية الألعاب وحتى قانون الإسكان، مع أي شخص يطلب بضع دقائق من وقته. لقد كان هو وزوجته، أليسيا، ودودين وكرماء معي دائمًا، حيث يدعوانني لأشاركهما وسائل النقل إلى قاعات المحاضرات أو الانضمام إليهما لاحتساء فنجان من القهوة والتحدث حول ها فيدا في المؤتمرات. سوف نفتقدهم.

الدكتور زيف هيلمان هو محاضر في قسم الاقتصاد في جامعة بار إيلان