قواعد اللعبة

كيفية فرز اللانهاية واللانهاية، وماذا يعني ذلك بالنسبة لقدرتنا على فهم العالم الذي نعيش فيه

البروفيسور دورون جيفنر. دائرة الاندماج
يقودنا فضول الإنسان أحيانًا إلى مجالات يصعب تخيلها. إن محاولات فهم العالم الذي نعيش فيه لا تميز البشر عن الحيوانات فقط. كما أنها ترسم تطور الثقافة الإنسانية، وتفرز المفاهيم والأفكار التي تطورت في مجتمعات مختلفة، في أوقات مختلفة وفي أماكن مختلفة. أما فيما يتعلق بالوظيفة الموضوعية فلا فرق كبير بين الفلاسفة والمتكلمين والعلماء. الجميع يريد أن يعرف كيف سيكون رد فعل العالم على هذه الحقيقة أو تلك. أو ماذا سيحدث بالضبط إذا ضغطنا على زر معين. ما هي في الواقع قواعد اللعبة التي يتصرف "العالم" بموجبها؟ ولكن ماذا نعني بالضبط عندما نقول "العالم": الكون برمته؟ إلى نموذج مبسط يمثل الكون؟ تعتمد الإجابة على هذا السؤال على مدى الدقة التي تريدها. إذا كنت على استعداد للتنازل عن مستوى الدقة، فيمكنك التحدث عن الكون بأكمله. إذا كنت تصر على الدقة الكاملة، فيبدو أنه لا يوجد خيار سوى التنازل عن تخفيض أو تبسيط معين لتعريف "العالم".
اتضح أن الفيزيائيين يدرسون العديد من "العوالم" المختلفة. بعضها نظري بحت، ولكن جميعها يمكن أن تعلمنا شيئًا عن العالم الحقيقي الذي نعيش فيه.
أحد أنواع هذه الأنظمة هو النظريات الميدانية. على سبيل المثال، نظرية المجال الكمي هي نظرية يتم فيها تقسيم الحقل إلى حزم من الفوتونات (المجال الكهرومغناطيسي). تم اختبار وتأكيد نظرية المجال في الأبعاد الأربعة -نظرياً وتجارباً- بدقة تصل إلى 13 رقماً بعد النقطة. في الواقع، هذه هي النظرية الفيزيائية الأكثر دراسة بدقة.
للمقارنة، يمكن حل نظريات المجال ثنائي الأبعاد من نوع معين ("التوافقات العقلانية")، والتي لا تشمل الكتلة، بدقة. يمكن استخدام هذا الحل كنموذج للتحولات الطورية (مثل انتقالات المادة من حالة التجمع إلى حالة التجميع الأخرى)، بالإضافة إلى نموذج لنظريات الأوتار التي يمكن من خلالها حساب القوى الأربع المؤثرة في الكون. نحن لا نتحدث عن نموذج واحد فقط، حيث أن هناك عدد لا حصر له من هذه النظريات، وفي الواقع، بما أن أي عدد مختار يمكن أن يكون له عدد لا حصر له من هذه النظريات، فيمكننا القول أنه عدد لا حصر له من اللانهايات. كيف يمكن ترتيب مثل هذا العدد اللانهائي من المنعطفات؟ هذا هو السؤال الذي شغل البروفيسور دورون جيفنر من قسم فيزياء الجسيمات في معهد وايزمان للعلوم. في مقال نشره مؤخراً في المجلة العلمية International Journal of Modern Physics B، يعرض البروفيسور جيفنر طريقة لفرز جميع نظريات المجال (التوافقات العقلانية) إلى بعدين.

دائرة الاندماج
تعتمد الطريقة التي ابتكرها البروفيسور جافنر على مفهوم يسمى "دائرة الاندماج"، وهي دمج حقلين لإنشاء حقل ثالث. اتضح أنه في كل نموذج (للعالم) توجد عدة مجالات أولية (على سبيل المثال، المجال الكهرومغناطيسي)، والتي تنشأ منها جميع أنواع الحقول الأخرى. تحتفظ هذه الحقول الأولية بـ "دائرة" من الحقول التي يتم إنشاؤها عن طريق ضرب حقلين من هذا القبيل. "الدائرة" في هذا السياق هي مجموعة تربط أعضائها علاقات الجمع والضرب (عندما لا يغير ترتيب الضرب النتيجة). على سبيل المثال، أحد أعضاء المجموعة هو نتاج عضوين آخرين؛ يمكن أن يكون العضو الآخر نتاجًا لثلاثة أعضاء آخرين معًا. عندما يتعلق الأمر بالأرقام، فهذا صحيح دائمًا، ولكن عند مضاعفة المكونات المجردة، مثل الحقول، فإن هذه الخاصية ليست تلقائية ولا مضمونة.
في الواقع، نظريات المجال المختلفة يمكن أن يكون لها علاقات مختلفة بين المجالات. على سبيل المثال، يصف نموذج إيسينج العلاقات في المجال المغناطيسي ثنائي الأبعاد. إذا قسمنا هذا المجال إلى خطوط طول وعرض إلى ما يشبه الشبكة، لأنه وفقًا لنموذج إيسينج، تتوافق طاقة النموذج مع مجموع طاقة جميع العقد التي توجد بها مغناطيسات صغيرة متجهة لأعلى أو لأسفل . وهو نموذج إحصائي مناسب للنظرية التوافقية العقلانية ثنائية الأبعاد للجسيمات ذات الدوران (الفرميونات)، والتي تدور في اتجاه واحد (لأعلى أو لأسفل) على غرار المغناطيسات الصغيرة التي يتم توجيهها أيضًا لأعلى أو لأسفل. جميع النماذج من هذا النوع مناسبة لبعض النظريات الميدانية.

نظرية المجموعات
لفرز هذه التعاليم العديدة، استخدم البروفيسور جيفنر أداة تسمى "Gloa Abelit Group". سُميت هذه الأداة على اسم اثنين من علماء الرياضيات توفيا في حياتهما، ولم يكن هناك أي اتصال بينهما في حياتهما (على الرغم من وجودهما في باريس لمدة 10 أشهر): بريست جالوا، ونيلز هنري أبيل. ولد جالوا في فرنسا عام 1812. وكان ناشطًا سياسيًا شغوفًا، وأُلقي به في السجن بسبب أنشطته. تسبب أسلوب حياته الجامح في عدم التقدير له، ولم تقبل المجلات المرموقة المقالات التي أرسلها. عندما كان عمره 20 عاما فقط، شارك في مبارزة من أجل قلب فتاة، وقتل (كان خصمه في المبارزة أعظم قناص في الجيش الفرنسي). وفي المساء الذي سبق المبارزة، كتب النظرية التي عُرفت فيما بعد باسم "مجموعة جلوا"، وأرسلها إلى صديق له عالم رياضيات، والذي نشرها بعد 14 عامًا فقط من وفاته.
أثبت في هذه النظرية أن معادلة الدرجة الخامسة (التي تتضمن القوة الخامسة) لا يمكن حلها باستخدام الجذور (يمكن حل معادلات الدرجة الثانية والثالثة والرابعة باستخدام الجذور). ولإثبات هذا التأكيد، قام بتعريف المجموعة ("المجموعة الواضحة"). المجموعة عبارة عن مجموعة من العناصر التي تستوفي عدة شروط رياضية (على سبيل المثال، نتائج الضرب بترتيب معين). بهذه الطريقة تمكن جالوا من إظهار أن كل مجموعة قابلة للحل يمكن حلها باستخدام الجذر، وأنه لا يوجد حل باستخدام الجذر لمجموعة غير قابلة للحل.
ولد هنري أبيل عام 1803 في النرويج، وهو ابن كاهن فقير. وهو أيضًا، مثل جالوا، لم يحصل على التقدير الذي يستحقه في حياته، وفقط بعد وفاته، عن عمر يناهز 26 عامًا، بمرض السل، أصبح مشهورًا، من بين أمور أخرى، لتعريفه بنوع من الكدمات التي تحمل اسمه. الاسم ("كدمات الحداد"). تحافظ مجموعة الحداد على التبادل المتماثل بين صفائف الضرب لأعضائها. أي: النتيجة التي تحصل عليها من ضرب AZ في AZ تساوي النتيجة التي تحصل عليها عند ضرب AZ في AZ.
في المرحلة الأولى من تطوير طريقة فرز نظريات المجال العقلاني المطابق، أثبت البروفيسور جيفنر أن الحزمة المرئية من دائرة الاندماج في النظريات المطابقة تكون دائمًا أبيلية، وأن جميع الكميات التي تظهر في نظريات المجال المطابقة يمكن حسابها باستخدام جذور الأعداد النسبية.
تركز طريقة الفرز على كميتين تظهران في نظريات المجال المطابق: دائرة الاندماج، والمصفوفة المعيارية التي تصف "سلوك" النظرية على بنية مثل الكاش (هذا الهيكل له اتجاهان: محيط الكاش، واتجاه عمودي عليه، على محيط الاسطوانة التي تنشئ الكاش)، وتتنقل المصفوفة المعيارية بين هذه الاتجاهات. وتبين أن هناك علاقة رياضية بين هذين البعدين اكتشفها الفيزيائي الهولندي إريك فيرليندا. لأن
نظرًا لأن المصفوفة المعيارية متماثلة، فمن الممكن استخدامها لفرز جميع نظريات المجال. وبما أن العلاقات بين "أعضاء" دائرة الاندماج يمكن وصفها باستخدام كثيرات الحدود، فإن جذور كثيرات الحدود هذه تحمل معادلة يمكنها، بمساعدة مجموعة مرئية، إنشاء مجموعة من المعادلات من الدرجة الثالثة التي تصف العلاقات بين الحقول في دائرة الانصهار. تشكل حلول هذه المعادلات تصنيفًا كاملاً لجميع نظريات المجال المطابق وفقًا لحزم جالوا الخاصة بها.
وبهذه الطريقة تمكن البروفيسور جافنر من فرز نظريات المجال المطابق حتى المجالات الأساسية الستة. وهذا بالطبع قدر صغير جدًا من النظريات الميدانية مقارنة بالكمية الإجمالية (لا نهائية لا نهائية)، ولكنها في الأساس طريقة يمكنها فرز كمية غير محدودة من نظريات المجال، وفقًا لخصائصها.

نقطة حرجة
وهنا سيكون هناك من يتساءل: "ماذا نخرج من هذا؟ لماذا يجب علينا أن نبذل كل هذا الجهد الكبير لفرز نظريات المجال العقلاني المتوافقة؟" حسنًا، اتضح أن قدرة الفرز هذه لها معنى مهم في مجال مادي فريد: دراسة خصائص جميع المواد الموجودة في الطبيعة. الطريقة التي تمر بها المواد خلال التحولات الطورية. مثل هذه التحولات من الدرجة الأولى هي، على سبيل المثال، انتقال المواد من حالة التجميع إلى أخرى. انتقالات مرحلة الترتيب الثاني
يحدث ذلك، على سبيل المثال، عند تسخين المغناطيس. عند درجة حرارة معينة تفقد خاصية المغناطيسية، وتنتقل من حالة التجميع "المغناطيس"، إلى حالة التجميع الأخرى: "اللامغناطيسية" (تسمى درجة الحرارة هذه "درجة حرارة كوري"، سميت باسم ماري كوري، التي إكتشفها). النقطة التي تنتقل فيها المواد من حالة التجمع إلى أخرى
"نقطة حرجة".
يعد الانتقال بين حالات التجميع خاصية مركزية للمواد. ولذلك، فإن فهم الطريقة التي تتصرف بها المواد بالقرب من "النقاط الحرجة" حيث تحدث التحولات الطورية، قد يؤدي إلى تطوير استخدامات متقدمة وجديدة لمواد مختلفة. اتضح أنه فيما يتعلق بـ "السلوك" بالقرب من النقاط الحرجة، هناك تشابه كبير بينهما
مواد مختلفة. المواد التي "تتصرف" بشكل مشابه بالقرب من النقاط الحرجة تعتبر أعضاء في نفس "الفئة العالمية". يتم وصف سلوك كل "فئة" (بالقرب من نقطة حرجة) من خلال نظرية المجال المطابق الفريدة. وبعبارة أخرى، فإن فرز التعاليم الميدانية هو في الواقع فرز لجميع المواد
الموجودة في الطبيعة، وفقًا لخصائصها و"سلوكها" بالقرب من النقاط الحرجة، حيث تحدث التحولات الطورية.
يمكن أيضًا استخدام هذه النماذج بمثابة "ملعب" لنظريات ميدانية أكثر تعقيدًا.
والتي تصف، على سبيل المثال، "قواعد عمل" القوى التي تحبس الكواركات وتسمح لها بتكوين جسيمات أخرى، مثل البروتونات والنيوترونات وغيرها. يقول البروفيسور جيفنر إن حلول هذه النماذج قد تساعد أيضًا في حل النظرية الفيزيائية (نظرية الأوتار) التي تصف بدقة القوى الأساسية في الطبيعة.