يقوم أحد العلماء في معهد وايزمان للعلوم بتطوير طريقة لتحليل الظواهر التي تحدث في الأنظمة عالية الأبعاد، باستخدام الحركة البراونية. قد تؤدي هذه الطريقة إلى نظرة ثاقبة لخصائص هذه الأنظمة
عندما يتحدث علماء الرياضيات عن بعد الفضاء، فإنهم يقصدون عدد الإحداثيات اللازمة لوصف نقطة أو عينة من هذا الفضاء. الكون (بالمعنى الكلاسيكي) ثلاثي الأبعاد. مساحة الحالة لنظام يحتوي على 100 جسيم، عندما يتم وصف حالة كل جسيم باستخدام الموضع والسرعة، هي 100*2*3=600 بُعد. مساحة الصور المحتملة ذات 1,000 × 1,000 بكسل هي بعد ثلاثة ملايين (بافتراض أن كل بكسل موصوف باستخدام ثلاثة ألوان أساسية)؛ ويُقاس حجم تسلسلات الحمض النووي المحتملة للشخص بمئات الملايين.
في عصر المعلومات و"البيانات الضخمة"، يكتسب تحليل المعلومات في الفضاءات عالية الأبعاد زخمًا وأهمية. في الفضاء ثلاثي الأبعاد من السهل علينا أن نتخيل، على سبيل المثال، كيف تبدو مجموعة النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة معينة (تسمى هذه المجموعة العد). ولكن هل هناك طريقة لتخيل كيف تبدو مجموعة النقاط في مساحة الصورة التي يظهر فيها الكلب؟ ماذا عن مجموعة نتائج تعداد الدم (لنفترض أن تعداد الدم يحتوي على حوالي 100 مؤشر مختلف) التي تعكس زيادة خطر الإصابة بمرض السكري؟ هل هناك طريقة لفهم "كيف تبدو هذه المجموعة" وتوصيف هندستها؟
التحدي الرئيسي في تحليل المعلومات عالية الأبعاد هو تعدد عدد الاحتمالات. لنأخذ مساحة الصورة على سبيل المثال، ونفترض للحظة أن كل بكسل يمكن أن يحتوي على قيمتين فقط - أسود أو أبيض. عدد الخيارات للصورة في هذه الحالة سيكون 2 أس عدد البكسلات. حتى في الصورة ذات الدقة الضعيفة نسبيًا، سنصل إلى أرقام فلكية بهذه الطريقة. بشكل عام، يمكننا القول أنه من أجل "مسح" جميع النقاط الممكنة في الفضاء، فإن عدد العينات التي سنحتاجها سيكون هائلاً في البعد. وتسمى هذه الظاهرة "لعنة الأبعاد".
والسؤال الكبير هو: هل من الممكن إيجاد مبادئ تساعدنا في التغلب على لعنة الأبعاد؟ وفقا لنظرية رياضية جديدة نسبيا، في كثير من الحالات، في الأنظمة عالية الأبعاد، يمكن العثور على ظواهر تشير إلى وجود بنية منظمة وبسيطة ضمن هذا العدد الهائل من الاحتمالات. لقد اتضح أنه عندما تنظر إلى النظام من المنظور الصحيح، فإن النظام ينشأ بشكل مدهش من الفوضى. وهذا بالضبط ما يفعله الدكتور رونان إلدان من قسم الرياضيات في معهد وايزمان للعلوم. ولأبحاثه في هذا المجال (أبحاث النظم عالية الأبعاد)، حصل مؤخراً على جائزة أرداش، أهم جائزة تمنحها جمعية الرياضيات الإسرائيلية.
تتجلى الظواهر عالية الأبعاد في الإحصاء وعلوم الكمبيوتر والفيزياء، كما أن فهمها مهم أيضًا في مجالات مثل التعلم الآلي. نبحث عن زخارف رياضية في هذه الأنظمة تكرر نفسها وربما تمثل سمات عميقة"
دكتور رونان الدان
ومن المبادئ التي تقف وراء هذه الظواهر هو مبدأ المتوسط، أو "قانون الأعداد الكبيرة": فكلما زاد عدد المتغيرات في النظام، فإن متوسطها سيكون أقل عشوائية. على سبيل المثال، إذا قمنا بحساب متوسط نسبة التغير اليومي في سوق الأوراق المالية على مدى فترة طويلة، فسنحصل على تعبير ثابت تقريبًا (أو تعبير ذو تقلب منخفض جدًا). هذه الظاهرة البسيطة هي أساس نظرية تسمى "تركيز الأبعاد" (أحد روادها البروفيسور فيتالي ميلمان من جامعة تل أبيب)، وهي تساعد علماء الرياضيات على التغلب على لعنة الأبعاد العالية.
إلى أي مدى وكيف يمكن استخدام هذه الظواهر لحل المشكلات الإحصائية أو الخوارزمية؟ على سبيل المثال، في تحليل الصور، بدلاً من قياس كل بكسل على حدة، يتبين أنه في بعض الأحيان تكون الطريقة الأفضل للتعامل مع المعلومات هي تحديد مناطق من الصورة بشكل عشوائي، وطبقتها بطريقة معينة. يقول الدكتور إلدان: "تنعكس الظواهر عالية الأبعاد في الإحصاء وعلوم الكمبيوتر والفيزياء، كما أن فهمها مهم أيضًا في مجالات مثل التعلم الآلي". "نحن نبحث عن تكرار الزخارف الرياضية في هذه الأنظمة. قد تمثل هذه العناصر خصائص عميقة، شائعة في الأنظمة عالية الأبعاد." اكتشف الدكتور إلدان في بحثه روابط غير متوقعة بين سلوك الأنظمة عالية الأبعاد والحركة البراونية. هذه الحركة (التي تُعرف أحيانًا باسم "المشي في حالة سكر") هي عبارة عن انتشار جزيئات صغيرة مغمورة في سائل. ويستخدم النموذج الرياضي الذي يصف هذه الحركة ("عملية وينر") لوصف العديد من الظواهر في الفيزياء والأحياء والاقتصاد.
"المشي في حالة سكر": الحركة البراونية هي انتشار جزيئات صغيرة مغمورة في سائل
"المشي في حالة سكر": الحركة البراونية هي انتشار جزيئات صغيرة مغمورة في سائل
يقوم الدكتور إلدان بتطوير طريقة تتيح تحليل الظواهر التي تحدث في الأنظمة عالية الأبعاد باستخدام الحركة البراونية. وبفضل ما هو معروف عن العلاقة بين الحركة البراونية والانتشار وظاهرة تحدث في نظام عالي الأبعاد، فقد تظهر رؤى حول خصائص ذلك النظام. وفي مجموعة أخرى من الدراسات، يركز الدكتور إلدان على محاولة فهم كيف يمكن لنظرية الأبعاد العالية أن تساعد في تطوير خوارزميات التحسين والتعلم. وبهذا المعنى يمكن القول إن الدكتور ألدن قد حقق إنجازات كبيرة في طريق تحويل "لعنة الأبعاد" إلى نعمة.
نشر بول أردش 1,525 مقالة علمية خلال حياته، معظمها بالتعاون مع علماء رياضيات آخرين. لقد رأى في ممارسة الرياضيات نشاطًا اجتماعيًا، وهو المفهوم الذي دفعه إلى التعاون مع 511 عالمًا.
#أرقام_علمية
المزيد عن الموضوع على موقع العلوم:
