سأحاول في هذه المقالة تعريف القراء ببعض طرق التفكير الرياضي وجمال الرياضيات.
ترك المربع لإدخاله:
إهداء إلى هيرمان باير - عقل فضولي وحيوي مثل مراهق في جسد يبلغ من العمر 94 عامًا
كجزء من المناقشات حول سلسلة مقالات ليران زيدمان بالنسبة لعلماء الرياضيات العظماء، علينا أيضًا مناقشة مسألة ما هي مجموعة الظروف المثالية "لإنشاء" عالم رياضيات جيد.
نظرًا لأنه من أجل معرفة كيفية "إنشاء" عالم رياضيات جيد، يجب على المرء أن يعرف ما هو عالم الرياضيات، وبما أنه لم يظهر جميع المعلقين مثل هذه المعرفة، فقد كان لدي انطباع بأن هناك مجالًا لتحسين إلمام بعض قراء الموقع به طرق تفكير عالم الرياضيات.
انطباع آخر تلقيته هو أن حجب الناس لعلماء الرياضيات الموهوبين يعتمد بشكل أساسي على الإعجاب بأولئك القادرين على أداء المهام العقلية المعقدة وليس على الإعجاب بجمال الرياضيات نفسها.
سأحاول في هذه المقالة تعريف القراء ببعض طرق التفكير الرياضي وجمال الرياضيات.
سأحاول القيام بذلك من خلال عرض حل للغز رياضي معقد إلى حد ما - بطرق أولية - بحيث يجب على كل طالب في المدرسة الثانوية أن يفهمه - ودون أي اعتماد على المعرفة المتقدمة.
اللغز:
لقد ثبت أن المستطيل الذي يمكن تجانبه باستخدام مجموعة من المستطيلات التي يحتوي كل منها على بعد كامل واحد على الأقل (أي أن حجم ذلك البعد هو عدد صحيح من وحدات القياس)، يجب أن يكون له بعد كامل واحد على الأقل (في نفس وحدة القياس).
سأثبت هذا الادعاء بثلاث طرق مختلفة، توضح كل منها جانبًا مختلفًا من الرياضيات.
وسأقدم البراهين حسب الترتيب "الزمني" - أي - حسب الترتيب الذي حدثت لي به.
شاء القدر أن هذا الترتيب من الأصعب إلى الأسهل، لكن بما أنه لا يوجد أي ارتباط بين الحلول المختلفة، فلا أهمية للأمر.
ومع ذلك، أوصي القارئ الذي يئس من فهم أحد الحلول، أن ينتقل إلى الحل التالي الذي أعتقد أنه سيكون أسهل في الفهم.
وأنا متأكد تمامًا من أن الدليل الأخير سيكون واضحًا لجميع القراء.
البرهان الأول:
هذا هو الدليل الأول الذي فكرت فيه. قد يبدو الأمر مرهقًا بعض الشيء ولكن ميزته هي أنه يمكن توسيعه بسهولة إلى أي عدد من الأبعاد.
والدليل هو في الطريقة السلبية.
وفي هذا النوع من البرهان يفترض أن نتيجة الجملة لا تصح، ويبين أن هذا الافتراض يؤدي إلى التناقض.
دعونا نلقي نظرة على مستطيل بعديه غير مكتملين.
سوف نملأها بمربعات أضلاعها 1 (وسوف نسمح لأنفسنا أيضًا باستخدام بعض كسور المربعات حسب الحاجة). سنبدأ التعبئة من الزاوية اليسرى السفلى.
سوف تبدو النتيجة مثل هذا:
ثم سنبدأ نفس العملية من الزاوية اليمنى العليا.
سوف تبدو النتيجة مثل هذا:
تم تقسيم جميع المربعات الأصلية (السوداء) بشكل مماثل إلى أربعة أجزاء.
وسوف نتعامل مع المستطيل بأكمله على أنه قطعة أرض ونقوم بتسعير قطع الأرض المختلفة حسب موقعها ضمن المربعات الأصلية كما يلي (يتم رسم المربع الأسود بتكبير معين بحيث يكون هناك مجال للكتابة بداخله):
أي أن كل مستطيل ضمن المربع المذكور أعلاه سيحصل على السعر 1 أو -1 عند بيعه بكامله وعند بيع جزء منه سيتم تحديد قيمة ذلك الجزء حسب الجزء النسبي له في مستطيل.
سيتم تسعير جميع قطع الأراضي داخل جميع المربعات السوداء بنفس الطريقة.
من السهل أن نرى أنه عند هذا التسعير، أي مستطيل ذو طول أو عرض صحيح يكلف بالضبط... صفرًا.
والمطلوب من القارئ الذكي أن يقتنع بذلك بنفسه (وطريقة رؤية ذلك هي تقسيم المستطيل بخطوط تكون في اتجاه البعد كله، إلى مستطيلات ضيقة يحدها خطان من الخطوط السوداء في نفس الاتجاه في صورة المستطيل الكبير أعلاه).
هذا يعني أنه إذا كان من الممكن تغطية المستطيل الكبير بمجموعة من المستطيلات الكاملة ذات البعد الواحد، فإن سعر المستطيل بأكمله هو صفر.
أما إذا قسمنا المستطيل (الذي يكون بعدين ناقصين) حسب التقسيم التالي:
يبدو أن كل مستطيل من المستطيلات المحددة (بنسيج فريد لكل مستطيل) له بعد كامل واحد على الأقل وبالتالي يضاف صفر ويترتب على ذلك أن قيمة المستطيل الكامل تساوي قيمة المخطط غير المحدد الذي هو 1.
يتبين إذن أن الافتراض بأن المستطيل الذي يكون بعداه غير مكتملين يمكن ملؤه بمستطيلات لها بعد كامل يؤدي إلى تناقض يقضي بأن سعر الأرض بأكملها يساوي الصفر، من ناحية، وواحد من ناحية أخرى.
ولذلك نستنتج أنه إذا كان من الممكن ملء المستطيل بمستطيلات لها بعد كامل، فإنه في حد ذاته لا بد أن يكون له بعد كامل وهذا خطأ.
في أحد الأيام، أظهر لي أحدهم دليلًا يعتمد على التكاملات المزدوجة لجيب الجيب وجيب التمام والذي يعمل لنفس السبب تمامًا.
ميزة طريقتي هي أنها أكثر بدائية (لا تتطلب خلفية متقدمة في الرياضيات)، وأكثر مباشرة (من الواضح للجميع سبب نجاحها) وأسهل في التوسع إلى عدد كبير من الأبعاد.
الدليل الثاني:
هذا البرهان بسيط وأنيق، ولكن توسيعه إلى عدد من الأبعاد، رغم أنه ممكن، إلا أنه أكثر تعقيدًا.
لنفترض أن لدينا مستطيلًا مملوءًا بمستطيلات أصغر، لكل منها بُعدًا صحيحًا واحدًا على الأقل.
في كل من المستطيلات الداخلية سنقوم بتلوين الجوانب في الاتجاه الكامل (إذا كان للمستطيل اتجاهان كاملان فسيتم اختيار أحدهما فقط للتلوين وسيتم تجاهل اكتمال الآخر).
نظرًا لأن المستطيلات متاخمة لبعضها البعض، فسيكون هناك أقسام سيتم تلوينها مرتين. لن نتجاهل هذه الحقيقة - فالقسم الذي تم رسمه مرتين سيتم التعرف عليه على أنه تم رسمه مرتين.
دعونا نلقي نظرة على مثال توضيحي:
في المثال أعلاه، تم تحديد الاتجاه الكامل (الاتجاه الوحيد الذي تم تحديده أو أحد الاتجاهين) باستخدام سهم ثنائي الاتجاه.
تظهر الأقسام المطلية مرتين كخط مزدوج اللون.
لنفترض الآن أننا بدأنا السير على طول الخطوط المرسومة دون تكرار (مسح اللون من كل قسم مررنا به، أما إذا تم رسم جزء من القسم مرتين فإننا نحذف واحداً فقط من النفاق) عندما نبدأ طريقنا في الزاوية اليسرى السفلية من المستطيل الخارجي وانتقل من قسم إلى قسم فقط حيث يكون القسم عليه تنتهي مسيرتنا ويبدأ القسم التالي (هذا التمييز مهم لأن الأقسام يمكن أن تتداخل جزئيًا، كما ترون في المثال).
من السهل أن نرى أنه في كل مرة ننهي رحلتنا على طول أحد الأقسام، نكون على مسافة كاملة من الجانب السفلي للمستطيل الخارجي ومن جانبه الأيسر (لأنه مع كل خطوة تتغير مسافة واحدة فقط من هذه المسافات وهي التغييرات بواسطة عدد صحيح).
عند نقطة معينة لن نتمكن من مواصلة التقدم لأنه في كل مرة نقوم بمسح اللون من مقطع آخر ويكون عدد المقاطع محدودًا.
فإذا نجحنا في إظهار أن هذه المرحلة ستحدث دائمًا عندما نكون في زاوية من المستطيل الخارجي تختلف عن زاوية البداية لمسارنا، فسنصل فورًا إلى النتيجة المرجوة التي، كما نتذكر، في هذه المرحلة كما حسنًا، كما هو الحال في كل مرحلة على طول الطريق، نحن على مسافة كاملة من الجانب السفلي والجانب الأيسر.
ولتوضيح أن المسار يجب أن ينتهي عند إحدى الزوايا غير زاوية الخروج، لا بد من ملاحظة الحقائق التالية:
- بالتأكيد لن نعود إلى زاوية الخروج لأننا بمجرد مغادرتنا لها "أحرقنا" ارتباطها الوحيد بالنقاط الأخرى.
- لن نتوقف أبدا عند نقطة يكون فيها عدد الأقسام المرسومة التي تصل إليها زوجي (لأننا في كل مرة ندخل فيها سننجح في الخروج وإذا ما زالت هناك أقسام مرسومة تصل إلى النقطة سيظل عددها زوجيا لأننا طرحنا) بالضبط 2 - قسم الدخول وقسم الخروج - من عدد الأقسام المطلية التي وصلت إليه أولا).
- النقاط الوحيدة التي يكون فيها عدد الأجزاء المرسومة فرديًا (في الواقع 1 بالضبط) هي النقاط الموجودة في الزوايا.
ويجب بالطبع إثبات الادعاء الأخير من بين الادعاءات الثلاثة المذكورة أعلاه.
سنثبت ذلك من خلال تحليل جميع أنواع نقاط نهاية/بداية المقطع.
نقاط النوع الأول هي تقاطع أربعة مستطيلات. أربعة أقسام مطلية تصل إلى نقطة التقاطع - واحد من كل مستطيل (تذكر أن القسمين الملونين قد يكونان في نفس المكان الفعلي).
نقاط النوع الثاني تأتي مع قطعتين مطليتين - واحدة من المستطيل B وواحدة من المستطيل C. على الرغم من أن أحد جوانب المستطيل A يمر أيضًا بهذه النقطة (ويمكن رسمه أيضًا)، إلا أن هذا الجانب ليس له حافة عند هذه النقطة وبالتالي لا يمكن المرور إليه أو منه في هذه النقطة.
تحتوي نقاط النوع الثالث على قطعتين مطليتين - واحدة من المستطيل A والأخرى من المستطيل B.
نقاط النوع الرابع هي في الواقع زوايا المستطيل الخارجي، وكما ذكرنا، يصل إليها قسم واحد مطلي بالضبط.
خاص.
لاحظ أن كلا من هذه الطريقة والطريقة السابقة مدعومتان بعملية تعرف في الرياضيات باسم "البناء المساعد".
في الطريقة الأولى البناء المساعد هو تسعير الأرض وفي الطريقة الثانية هو طلاء الأضلاع.
أولئك الذين درسوا الإنشاءات المساعدة في الهندسة في المدرسة الثانوية يمكنهم أن يروا هنا أن الإنشاءات المساعدة هي شيء أوسع بكثير ولا يقتصر حتى على عالم مفاهيم المشكلة الأصلي.
أي شخص لم يتعلم عن الإنشاءات المساعدة في المدرسة الثانوية ربما تعلم ذلك في السنوات القليلة الماضية (بقدر ما سمعت، لم تعد مواد المدرسة الثانوية تتضمن مشاكل البناء في الهندسة. وهذا في حد ذاته خسارة كبيرة في رأيي) ، لكنني لا أعرف ما إذا كان لا يزال "مسموحًا" للطلاب بالتعرف على الإنشاءات المساعدة دون أن يُقتلوا بسبب ذلك لأنهم يعرفون الكثير).
الدليل الثالث:
وهذه، في رأيي، هي أبسط وأروع الطرق التي برهنت بها النظرية.
وعيبه هو صعوبة التوسع لعدد أكبر من الأبعاد، لكنه يعوض هذا العيب برسالة إضافية يمكن توضيحها بها، كما ستقول.
دعونا نلقي نظرة على مستطيل مملوء بمستطيلات يحتوي كل منها على بُعد كامل واحد على الأقل.
سنقوم بإزالة جميع المستطيلات منه ولكننا سنتذكر مكان كل مستطيل وسنبدأ بإعادتها إلى مكانها واحدًا تلو الآخر.
ومن خلال إعادتهم إلى مكانهم، سنبدأ من الأسفل ونتأكد من عدم إرجاع كل مستطيل إلى مكانه إلا بعد أن يكون هناك ما يمكن "وضعه" عليه "بأمان"، أي أن جميع المستطيلات التي "يحمله" بها تم وضعها بالفعل.
فيما يلي رسم للتوضيح:
في الرسم أعلاه، تم بالفعل وضع المستطيلات البيضاء ولم يتم وضع المستطيلات الأخرى بعد.
يمكن بالفعل إعادة المستطيل الأخضر إلى مكانه، لكن المستطيل الأحمر ليس بعد لأن "قاعدته" ليست جاهزة بعد بالكامل (قبل أن نضع المستطيل الأحمر، يجب أن نضع المستطيل المخطط الذي يقع تحت الجزء الأيمن منه) .
في كل خطوة، سنحدد الخط المتقطع الذي يصف أعلى النقاط التي تم ملؤها بالفعل على أنها "أمامية".
على سبيل المثال، في الرسم أعلاه، بعد وضع المستطيل الأخضر، سيتم وصف الواجهة بالخط الأسود السميك.
كل نقطة في الواجهة تبعد مسافة معينة عن قاعدة المستطيل الخارجي.
يمكن أن تكون هذه المسافة كاملة أو مكسورة (غير كاملة).
سوف نصف النقاط الموجودة عند قاعدة المستطيل الخارجي (المشار إليها فيما بعد بـ "القاعدة") بأنها كاملة إذا كانت الواجهة التي فوقها على مسافة كاملة منها وعلى أنها مكسورة إذا كانت الواجهة على مسافة مكسورة فوقها.
في بداية العملية، تكون المقدمة هي قاعدة المستطيل الخارجي وبالتالي فإن جميع النقاط الموجودة على القاعدة (وهي على مسافة صفر من الأمام ومن المعروف أن الصفر هو كل وبالتالي فهي) كاملة.
في كل مرة يتم فيها وضع مستطيل إضافي، قد يتغير توصيف بعض النقاط الأساسية.
لا يمكن أن يتغير توصيف النقطة إلا إذا افترضنا مستطيلًا ارتفاعه غير مكتمل (ومن ثم نعلم أن عرضه مكتمل).
وهذا يعني أنه في كل مرة تتغير حالة بعض نقاط الأساس، يحدث ذلك لقطعة في القاعدة يكتمل طولها.
بما أنه في بداية العملية تكون جميع النقاط كاملة (كما هو مذكور أعلاه) وبما أن أي تغيير في توصيف النقاط يحدث دائمًا على أجزاء كاملة، فيمكننا الادعاء أنه في كل مرحلة يكون قياس مجموعة النقاط المكسورة مكتملًا ( في البداية يكون صفرًا لأن جميع النقاط مكتملة، وبعد ذلك، عندما يزيد أو ينقص، فإنه يفعل ذلك فقط على طول المقاطع الكاملة).
إذن ماذا يحدث في النهاية؟
في النهاية، بعد أن قمنا بملء المستطيل الخارجي بأكمله، تكون جميع نقاط القاعدة على نفس المسافة من الأمام، فإما أن تكون كلها كاملة أو كلها مكسورة.
إذا كانت كاملة، فقد انتهينا لأن ذلك يعني أن ارتفاع المستطيل قد اكتمل.
إذا تم كسرها، فقد انتهينا أيضًا لأننا نعلم أنه في كل خطوة، بما في ذلك هذه الخطوة، يكون قياس مجموعة النقاط المكسورة مكتملاً وهذا يعني أن قياس القاعدة مكتمل لأن مجموعة النقاط المكسورة هي القاعدة بأكملها.
نجاح باهر!! لا؟
وتبين أن المشكلة يمكن حلها ببساطة عن طريق....التلاعب بالكلمات.
في مقال سابق لقد جادلت بأن ما يفصل الإنسان عن الوحش، أكثر مما يتم التعبير عنه في حقيقة أن الإنسان لديه لغة، يتم التعبير عنه في قدرته على اختراع اللغة.
وتساعده هذه القدرة على التفكير بأنه يستطيع إعطاء اسم أو رمز لمفهوم معقد ومن ثم استخدام هذا الاسم/الرمز في بناء مفاهيم وأفكار أكثر تعقيداً والعياذ بالله.
يبدو لي أنه في هذا الحل يمكنك أن ترى مدى فائدة هذه القدرة.
خارج عالمنا الإشكالي، تُستخدم الكلمات "الأمامي" و"الكامل" و"المكسور" بمعنى مختلف تمامًا عما هو عليه داخل عالم المشكلات (من سمع عن نقطة مكسورة؟).
يجب أن أشير إلى أنه كان بإمكاني اختيار كلمات أخرى (مثل الصافرة، والسمارجول، ويفارن) لنفس الحاجة، ولكنني فضلت استخدام الكلمات التي لها علاقة بين معناها المقبول ومعناها داخل المشكلة.
ملحقات اللغز الأصلي:
وتبين أن النظرية يمكن أن تمتد إلى عدد أكبر من الأبعاد.
تبدو الجملة في صيغتها الأكثر عمومية كما يلي:
إذا كان لدينا مجموعة من المربعات ذات الأبعاد N (ليست بالضرورة متطابقة!) لكل منها أبعاد K على الأقل وطولها عدد صحيح، فيمكن ملء كل مربع ذو أبعاد N بأبعاد K على الأقل وطولها عدد صحيح.
ولن أقدم دليلاً تفصيلياً على الأمر هنا لأن الشكلية الرياضية ستجعل الأمر صعباً على القراء.
وبدلا من ذلك سأقتصر على وصف فكرة البرهان:
بداية، يبدو أن طريقة الإثبات الأولى تذهب إلى أبعاد إضافية دون أي تغيير.
ببساطة، بدلًا من تسعير المربعات التي لها جوانب بطول الوحدة عن طريق تقسيمها إلى أربعة مستطيلات، سنقوم بتسعير "مكعبات" ذات أبعاد N عن طريق تقسيمها إلى "مربعات" ذات أبعاد N (2N من هذه المربعات، كل منها يحتوي على قمة واحدة بالضبط من المكعب المقسم).
من الصعب رسمها، ولكن يمكنك أن تحاول المقارنة بعين عقلك كيف تبدو في ثلاثة أبعاد. يتم التسعير عن طريق تقسيم الصندوق الخارجي إلى مكعبات عادية، كل منها مقسم إلى 8 صناديق، كل منها يكلف 1 أو -1.
قد يساعد الرسم التالي (لما يجب أن يكون مكعبًا ثلاثي الأبعاد مقسمًا إلى 8 مربعات):
من الصعب وصف العملية بالضبط في نص متاح للجميع، ولكن آمل أن يظل ما قلته مفهومًا.
بالنسبة للخبراء سأضيف أنه يمكن تحديد سعر الصندوق ببساطة عن طريق رفع الرقم ناقص واحد إلى قوة الآحاد في تمثيل زاوية المكعب المرتبطة به (حيث يتم تمثيل جميع الزوايا بكل المجموعات الممكنة من N الأصفار أو الآحاد).
وكما هو الحال في الحالة ثنائية الأبعاد، هنا أيضاً يمكن ملاحظة أن الصندوق الذي له أحد أبعاده بالكامل سيكلف صفراً، وهنا أيضاً سنصل إلى تناقض في الحالة التي لا يكون فيها الصندوق الخارجي بعداً كاملاً.
من هذا نستنتج أنه عندما يجمع معين صناديق ذات أبعاد N ذات بعد كامل، يجب أن يكون هناك بعد كامل واحد لكل صندوق ذو أبعاد N نقوم بتجميعها باستخدامها، لكننا أردنا المزيد. لقد أثبتنا حتى الآن النظرية لجميع N ولكن فقط لـ K=1.
الانتقال إلى K أكبر أمر بسيط.
إذا كانت هناك أبعاد عددية K لكل صندوق داخلي، فمن المؤكد أن هناك واحدًا.
لذلك، يجب أن يحتوي الصندوق ذو الأبعاد N على بُعد واحد كامل.
دعونا الآن نلقي نظرة على "الشعر المستعار" المتعامد مع هذا البعد - إنه في الواقع مربع ذو أبعاد N-1 مغطى بالصناديق
أبعاد N-1 لكل منها أبعاد عددية K-1 على الأقل وبالتالي فإن هذا الصندوق له أيضًا بعد عدد صحيح وهكذا.
كما ذكرت، فإن الكتابة الرسمية الكاملة والدقيقة لحل هذا النوع من الأسئلة أمر مرهق للغاية.
آمل أن يكون النص الحالي كافيًا لإعطاء أولئك الذين ليس لديهم الأساس اللازم على الأقل "طعم" البرهان ولأولئك الذين لديهم الأساس الضروري كل ما هو ضروري لفهمه بالكامل.
استنتاجات إضافية:
باستخدام المربعات التي تكون أبعادها 1x2x4، من الممكن ملء المربعات التي لها بُعد يقبل القسمة على 4 فقط، وبعد آخر يقبل القسمة على 2 وبعد ثالث كامل (وكلها).
بشكل عام، استخدام المربعات ذات الأبعاد التي تمثل مضاعفات صحيحة لـ D1، D2، D3....DK إذا قسمت DI DI+1، يمكن ملء المربعات التي لها نفس الخاصية فقط.
باستخدام المربعات ذات الأبعاد التي تمثل مضاعفات صحيحة لـ D1 وD2 وD3....DK عندما تكون العلاقات بين هذه الأبعاد غير منطقية، يمكن ملء المربعات التي لها نفس الخاصية فقط.
إن ذوي الميول الرياضية مدعوون لإثبات هذه الادعاءات المشتقة لأنفسهم.
الاستنتاج الأخير ليس صحيحا عندما تكون العلاقات عقلانية (لأن بعدا واحدا من الصندوق الخارجي يمكن أن "يرضي" عدة أبعاد من الداخل).
والقارئ النشيط مدعو لإقناع نفسه بذلك من خلال بناء مثال.
وفي العدد 112 من مجلة جاليليو ظهر السؤال التالي:
هل من الممكن ملء صندوق مقاس 6x6x6 بصناديق مقاس 1x2x4؟
ردًا على السؤال، كتبت أن الإجابة عليه هي أحد الاستنتاجات من نظرية عامة يمكن البرهنة على أساسها أنه إذا كان لدينا مجموعة من المربعات ذات الأبعاد N (ليست بالضرورة هي نفسها!) فإن كل منها لديه في أبعاد K على الأقل طولها كامل، ثم كل مربع بعد N يمكن ملؤه بأبعاد K على الأقل طولها كامل (الجملة التي تناولتها هذه المقالة).
وشرحت أيضًا كيف تشتق الإجابة من الجملة ولكن وسأتركها هنا كتمرين (سهل) للقراء.
تعليقات 54
هل تتذكر وصف العلاقة بين القدرة على اختراع اللغة والقدرة على التفكير بفعالية؟
إليك مثال جميل من الأيام القليلة الماضية:
http://www.haaretz.co.il/news/science/1.1827725
"يعمل موتشيزوكي على تطوير لغة جديدة، لذا سيستغرق الأمر بضع سنوات قبل أن يكون هناك إجماع حول ما إذا كانت صحيحة أم لا."
لأي شخص مهتم - هناك مطالبة لإثبات أن P!=NP
فيما يلي قائمة بالروابط ذات الصلة:
http://www.hpl.hp.com/personal/Vinay_Deolalikar/Papers/pnp12pt.pdf
http://rjlipton.wordpress.com/2010/08/08/a-proof-that-p-is-not-equal-to-np/
http://rjlipton.wordpress.com/?p=5206
http://www.geekosystem.com/p-np-proof-vinay-deolalikar/
http://www.hpl.hp.com/personal/Vinay_Deolalikar/
لقد استمتعت بالقراءة.
أعرف صياغة مختلفة قليلاً تسمح بإثبات مختلف قليلاً ولكن بنفس مبادئ الدليل الثاني تمامًا.
لقد حفرت
تسفيكي:
شكرًا لك على كلماتك ولكن هناك شيء واحد أساءت فيه فهم نيتي.
كان هدفي هو السماح لأولئك الذين يريدون تعميق فهمهم للمسألة - بالحصول على شعور حقيقي حيال ذلك.
لا توجد طريقة للتدريس بطريقة ممتعة لأولئك الذين لا يريدون التعلم وهذه المقالة ليست مخصصة لمثل هؤلاء الأشخاص.
إن طريقة تعليم هؤلاء الأشخاص تبدأ بالحد من قناعاتهم وغطرستهم، وهذا ما حاولت فعله في التعليقات.
عزيزي مايكل،
شكرا لمقالك المنتظر.
وبعد إذنك سأقتبس جزء منه:
"اتضح أن المشكلة يمكن حلها ببساطة عن طريق....التلاعب بالكلمات.
قلت في مقال سابق إن ما يفرق الإنسان عن الحيوان، أكثر مما يعبر عنه في كون الإنسان لديه لغة، يعبر عنه في قدرته على اختراع لغة.
وتساعده هذه القدرة على التفكير بأنه يستطيع إعطاء اسم أو رمز لمفهوم معقد ومن ثم استخدام هذا الاسم/الرمز في بناء مفاهيم وأفكار أكثر تعقيداً والعياذ بالله.
يبدو لي أنه في هذا الحل يمكنك أن ترى مدى فائدة هذه القدرة."
أوافقك الرأي.
وفي الوقت نفسه، تجدر الإشارة إلى أن هذه الميزة تكون ذات صلة عندما يفهم الأشخاص الذين تستهدفهم الرسالة هذه المفاهيم والأفكار المعقدة.
عندما لا يعرفون بعضهم البعض، وأكرر أنني أشير إلى الجمهور المستهدف الذي ذكرته في بداية المقال، سنزيل الميزة الإنسانية وبقاء الحيوان، وهو ما رأيناه في ردودكم، لديه أيضًا قدرات تعبيرية كبيرة.
تسفيكي
مرحبا مايكل. لقد قمت بإنشاء إشارة إلى اللغز ومقالتك الجميلة في غان آدم
شكرا مايكل. إنه أمر مثير للاهتمام. ربما تعلم أن هذا العام يسمى عام علم الفلك لأنه قد مر 400 عام منذ أول مراقبة لتلسكوب غاليليو في جامعة بادوا. وحسب الرابط المرفق تبقى 4 مسائل غير محلولة من قائمة مسائل هيلبرت الـ 23 6,8,12,16،XNUMX،XNUMX،XNUMX. لذا فإن عالم الرياضيات لديه المزيد ليفعله..
http://he.wikipedia.org/wiki/23_%D7%94%D7%91%D7%A2%D7%99%D7%95%D7%AA_%D7%A9%D7%9C_%D7%94%D7%99%D7%9C%D7%91%D7%A8%D7%98
شكرا لك، موشيه.
الحقيقة هي أنني أعيش كل المشاكل الجميلة التي واجهتها في حياتي، وهذه ليست سوى واحدة من العديد من المشاكل.
أتمنى أن أستمر في عيشها جميعًا لسنوات عديدة أخرى (يقولون إن الشخص الذي يدخن لمدة 120 عامًا يعيش حياة طويلة جدًا).
هيرمان باير هو جد رئيس التحرير السابق لمجلة "جاليليو" - أحد الأشخاص الذين ضحوا بحلم أن يصبحوا محترفين في الرياضيات على مذبح بناء الوطن.
في سنه القصوى، لا يزال يحب التعامل مع المشكلات الرياضية ويستمر في محاولة فهم العالم.
شلوميت أوزيل - المحرر السابق لجاليليو اعتقد أن المباراة بيننا قد تسير على ما يرام، وقد حدث ذلك بالفعل.
مرحبا مايكل
قرأت باهتمام مقالتك الجميلة "كونك عالم رياضيات" - شكرًا لك.
جميل بالنسبة لي أنك تعيش مشكلة رياضية منذ حوالي 40 عامًا!
أعجبني بشكل خاص الدليل الثالث الذي أعتقد أنه الأكثر أناقة.
من هو هيرمان باير، لمن أهديت المقال؟
موسى
رون:
ولسوء الحظ، فإن ما يحدث هنا يلبي توقعاتي تمامًا.
يوجد بعض المعلقين اللائقين وبعض المعلقين غير الشرفاء هنا - تمامًا كما هو الحال في أي مناقشة أخرى على الموقع.
ومن بين غير المحترمين - هناك من هاجمني شخصياً ومحاولتك للتهدئة لن تحجب هذه الحقيقة.
لماذا هو؟
يومًا ما - عندما نتحدث - سأشرح لك كيف عرفت من أنت.
اليسار ليس كما يتصوره اليمين، وعلى أية حال، لا أعرّف نفسي على أنني يساري من النوع الذي تفكر فيه.
لقد أوضحت في مناسبات مختلفة أنني أعتقد أن استراتيجية "القياس مقابل القياس" الموضحة في خوارزمية "الواحدة بواحدة" في تجربة أكسلرود هي الإستراتيجية الصحيحة.
كن لائقًا - لا تهاجم أبدًا بدون سبب - ولكن عندما تتعرض للهجوم بدون سبب - عاقب بشدة.
حسنًا، لقد تم تضخيم هذا المنشور وتعليقاته بشكل غير متناسب
لقد جرب مايكل شيئًا ما، ولم ينجح الأمر كما توقع.
لم يحدث شيء، يمكنك المحاولة مرة أخرى.
هناك انتقاد هنا لطريقة العرض وليس هجوما شخصيا على بول أون وقدراته
مايكل، خذ الأمور ببساطة، هناك هجمات أكثر إشكالية...
http://www.youtube.com/watch?v=hiANsBkgqjU
رافي:
شكرا لك على كلماتك.
وأما سؤالك عن الحدس - فانظر ردي رقم 24.
لسوء الحظ، لا توجد إجابة حقيقية فيه، ولكن هذا كل ما أعرف كيف أقوله.
لو كنت مكان رامانوجان لقلت إن الإلهة ناماجيري زرعت الحل في ذهني.
مايكل روتشيلد:
إذا كنت تعرف حقًا من أنا، على الرغم من أنني لا أعرف من أنا شخصيًا، فأنت حقًا عبقري بديهي من الدرجة الأولى.
وفيما يتعلق بالتورم ما زلت أعتقد أنه من الممكن مدح أي تورم موجود والسماح له بإقامة الكربولات دون إهانة.
وبصرف النظر عن ذلك، أتساءل ما هو الحل في رأيك للعنف بالعنف. لأنه بدا لتومي أنك كنت على الجانب الأيسر من الخريطة.
ففي نهاية المطاف، عادة ما يكون هذا نهجا يمينيا متشددا. ولكن من الممكن أيضًا أن يكون للجانب الأيسر جانبًا أيمنًا نفسه.
الأمر معقد للغاية، ربما يجب عليك فقط اتباع نهج خفيف عندما لا يكلفك أي شيء، فالحياة صعبة بما فيه الكفاية.
مايكل وليس روتشيلد:
انا لا أتفق معك.
إن الرد على العنف يجب أن يكون بالعنف المتبادل.
وعندما جاء هذا القارئ على ما يبدو وقام بدور غولدستون، وجدت أنه من المناسب أن أوضح له الأمور بأكبر قدر ممكن من الوضوح.
لماذا هو؟
وبما أنني أعرف من أنت - فأنا مندهش من ردك.
عن أي تورم تتحدثين؟
هل أنا من قلت أن السؤال بالأرقام مناسب للمرحلة الابتدائية دون أن أعرف حله بنفسي؟
لقد هاجمني "الطالب" شخصيًا دون أن أسبب له أي ضرر.
وكما قلت، باستثناء السم، لم يساهم بأي شيء في المناقشة.
إلى مايكل روتشيلد-
الرد على الرد 30
لا أريد الخوض في مسألة من هاجم من، ومن يحاول التباهي ومن لا يفعل. أريد أن أشير إلى جملة واحدة كتبتها في ردك، وأقتبس منها: "لم يكن هناك أي أثر للغطرسة في ردي - لقد كانت مجرد محاولة للسماح لهذا القرف باختبار نفسه في شيء ينتمي إلى الموضوع قبل أن يهاجمني في مناطق لا تنتمي للموضوع".
أعتقد أنه كان بإمكانك ككاتب رسمي في الموقع أن تخفف من كلامك قليلا، ولا تنزل إلى مستوى الطالب من المستوطنة، ولا تستخدم كلمة "تبا". فهو غير محترم، ولا يضيف إلى مستوى الموقع.
مرحبا مايكل،
أود أن أشكرك على الاستثمار الهائل في كتابة المقال. وبعد قراءة مثيرة للغاية، تمكنت من فهم جمال كل من البراهين.
كان اختيار الخطوات في كل طريقة من طرق الحل فريدًا ومثيرًا للاهتمام للغاية. وفيما يتعلق بالحدس الرياضي، فأنا أتفق مع سؤال إيهود.
أنا في هذا الوقت في مراحل التحضير لامتحان البجروت في الرياضيات (استبيان 007)، ومن الرائع بالنسبة لي أن أرى جوانب أخرى من الرياضيات لا تجد عادة تعبيرا عنها في إطار الدراسة الثانوية. وأنا أفكر جديًا في مواصلة دراستي للرياضيات في التخنيون.
أود أن أستوعب حبك للرياضيات في المستقبل أيضًا.
مايكل روتشيلد:
لا أعرف من أنا فكيف تعرف من أنا
والأمور موجهة إلى جميع المتناقشين. لك أيضا
لا أعتقد أن هناك فتاة تتجادل هنا. ولهذا السبب فإن النساء أقل ميلاً إلى تضخيم غرورهن في مثل هذه الأشياء.
على أية حال، إذا كنت منتفخًا، فيُسمح للجميع بالانتفاخ. نرحب بأي مالك للملفوف.
حتى الطالب المتعب يحتاج ويستحق التشجيع.
ليس عليك أن تتقلص إلى البيرغونيم.
لماذا هو؟
قبل أن أجيب، أود أن أعرف لمن توجه الأمور.
بالمناسبة - أنا في الواقع أعرف من أنت 🙂
لماذا العدوان؟ فماذا لو أراد الطالب أن ينتفخ أمام مايكل. الجميع يريد أن يظهر أن لديهم أكثر مما هي عليه رياض الأطفال. انها مجرد الرياضيات، وليس الحرب. وبالمناسبة، لماذا يجب أن تخيف مسألة الأعداد الطبيعية الطالب. مناسبة للابتدائية في رأيي.
تحدى:
ربما لم تفهم البراهين ولكن على عكس البعض الآخر، على الأقل فهمت كيف تتصرف حتى لا يكون لديك ما تخجل منه.
أقترح عليك أن تحاول التركيز على الدليل الثالث والتغلب على مشكلة قلة التركيز التي تصفها.
حاول مرتين أو ثلاث مرات، وإذا كنت لا تزال لا تفهم - فسنرى ما يمكن فعله.
ليس لدي أيضًا أي مشكلة في مقابلتك والشرح لك (في محادثة وجهًا لوجه، يمكنني أن أشرح بشكل أفضل الصعوبات التي تعيقك وأساعدك في التغلب عليها).
في الواقع، هذه دعوة مفتوحة لأي شخص غير قادر على فهم المقال ويريد الحصول على تفسير شخصي.
لطالب من المستوطنة
واسمحوا لي أن أشير إلى أن ردكم (رقم 26) هو، على أقل تقدير، غير عادل وغير مهذب. أولا، أصر المؤلف نفسه في مقالته على "مشكلة اللغة" في المسائل الرياضية بشكل عام وفي المشكلة التي تمت مناقشتها بشكل خاص. وأوضح أن الكلمات التي تستخدم في المسائل الرياضية تتلقى من خلال تعريفها الرياضي معاني تختلف عن معانيها في اللغة اليومية. ثانياً، تم تحديد المفاهيم التي تظهر في المشكلة في متن المشكلة. وهذه هي الطريقة المقبولة في لغة الرياضيات. أنت، الذي تعرف عن نفسك كما لو كنت طالبًا في التخنيون، لا بد أنك واجهت هذا الأمر عدة مرات
أثناء دراستك. ولذلك فإن حجتك ضد ما هو مكتوب في المقال غير واضحة بالنسبة لي.
وأخيراً ملاحظة تشخيصية. لن أتفاجأ عندما أعرف أنك طالب هندسة وليس في مادة علمية مثل الرياضيات أو الفيزياء. أقول هذا لأنه، حسب فهمي، عادةً ما يبحث المهندسون (والمعماريون) عن الجانب العملي والتطبيقي والفوري والتقنية السريعة للحصول على "النتيجة الصحيحة". ومن ناحية أخرى، لدى العلماء وجهة نظر أوسع. وهم يبحثون قدر الإمكان عن قوانين معممة للحصول على وصف عام للمشاكل. (سواء المشاكل المادية والنظرية).
لقد أظهرت العلوم والرياضيات في الماضي أنه في بعض الأحيان يكون هذا هو النهج المعمم على وجه التحديد
(أعني ما يعرف بالمنهج الاستقرائي) قد يؤدي إلى حل مجموعة واسعة من المشاكل.
لقد تم تحديي…
بالطبع فهمت اللغز، ماذا (أو ربما ليس في الواقع؟..)
والأمر المؤكد هو أنني لم أفهم البراهين.
ومن ناحية أخرى، ليس لدي أي تدريب رياضي، أي أنني لا أعرف كيفية قراءة مثل هذه البراهين - خط تفكيري ضعيف للغاية، وأنسى ما هي المرحلة الحالية ...
في الأساس، لا أفهم التقسيم إلى مراحل، وما هو المنطق الداخلي (أي السؤال الذي يجب الإجابة عليه أولاً، من أجل إنشاء المعرفة الكافية كأساس للسؤال التالي).
ربما تكون فقرة تصف سلسلة الأفكار أو الحدس الكامن وراء كل دليل مفيدة.
مجرد قراءة:
أعتقد أنه إذا رأيت شخصًا يسرق سيارة شخص آخر ويركض خلفه ويصرخ - فسوف توبيخ من يصرخ.
ألم تقرأ إجابة الطالب الممتازة والمتعمقة؟
برأيك، ما الذي أراد تحقيقه في هذا الرد؟
ليست هناك حاجة لأن تكلف نفسك عناء الإجابة - فقط اقرأ لترى أنه لم يقل أي شيء في هذا الشأن.
لم ينتبه للغز أو التفسيرات - لا شيء - قرر فقط أنه يريد مهاجمتي.
يمكنني أن أؤكد لك أنه في الحالات الأخرى التي أبديت فيها رأيك، كانت الخلفية متشابهة.
لم يكن هناك أي أثر للغطرسة في ردي، بل كانت مجرد محاولة للسماح لهذا القرف باختبار نفسه في شيء ينتمي إلى الموضوع قبل أن يهاجمني في مجالات لا تنتمي إلى الموضوع.
وأرجع سوء فهمك للأمر إلى أنك لم تقرأ كلامه.
إلى مايكل ،
حبل.
أحترم علمك، لكن للأسف بعض إجاباتك (بشكل عام - وليس هذه المرة فقط) تخفي قلة حياء. وفي جوابك للطالب (7) حتى ينكشف الكبر.
يمكنك القتال - ولكن لماذا القتال؟
أريد فقط أن أقول إنني لم أفهم شيئًا من اللغز أو من المراجعات
ولكنني سعيد بوجود أشخاص ذوي عقل في إسرائيل
طالب من المستوطنة:
من أي مدينة أنت بالضبط؟
شكرًا لك على مساهمتك الرائعة في المناقشة ذات الصلة.
أخبرني بالمناسبة:
في مدينتك، هل تعرف كيف تثبت أنه إذا كانت هناك مجموعة من العناصر الطبيعية بين واحد وألف يكون مضاعفها المشترك الأصغر لأي اثنين منها أكبر من ألف، فإن مجموع معكوساتها أقل من 1.5؟
أتمنى أن تعرف مدينتك على الأقل أن معكوس الرقم هو واحد مقسومًا على نفس الرقم.
تكون صحية بعض الصياغة للغز،
انا بعد يوم دراسي طويل
لكن كطالب في التخنيون يرى عددًا لا بأس به من البراهين الرياضية يوميًا،
كان عليّ أن أبذل جهدًا لفهم صيغة اللغز، ولم أتمكن من ذلك إلا لأنني قرأت البراهين.
"بعد واحد كامل (أي - قياس ذلك البعد هو عدد صحيح من وحدات القياس)" ماذا يفترض أن نفهم من هذه الجملة؟
ما هو البعد الصحيح؟ ما هو مقياس البعد على أي حال؟ لا توجد مثل هذه المفاهيم.
هل تفتقد البراهين البسيطة والجميلة مع القصص المثيرة للاهتمام؟ على سبيل المثال، يمكنك إظهار برهان أويلر على الرسوم البيانية الأويلرية، مع قصة جسور كونيجسبيرج (ويمكنك شرحها دون شرح ماهية الرسم البياني على الإطلاق).
مايكل، شكرا مرة أخرى على المقال الجميل.
أعتقد أنه من أجل الحصول على المتعة من اللغز، يجب على المرء أن يحاول حله. وكثير من القراء لم يحاولوا حل اللغز ولذلك كان من الصعب عليهم أن يروا جمال الحل.
بخصوص السطر المفقود عندما أضغط على الرسم الموجود أسفل الصورة (للحصول على الصورة فقط) هل يظهر كما ينبغي؟ فقط عندما تكون الصورة جزءًا من المقالة، يختفي السطر. أدوات الكمبيوتر.
ودي:
لقد لاحظت للتو أنني نسيت أن أجيبك عن الشيء الذي قادني إلى حدس الحل الأول.
ربما نسيت لأن الإجابة الوحيدة التي يمكنني تقديمها لهذا السؤال هي "لا أعرف".
أقدر أن الأمر يتعلق بحقيقة أنني لاحظت بالفعل من قبل أن الإنشاءات المساعدة في بعض الأحيان تبرر الزيت وتساعد حقًا.
بدا لي أن بناء شبكة ذات جانب كامل على المستطيل هو بناء ذو إمكانات.
ربما تم تنفيذ بناء الشبكة الثانية لأسباب التناظر.
وبعد ذلك - فجأة رأيت الدليل بأكمله.
والشيء المثير للاهتمام هو أن كل شيء كان في الرأس - دون استخدام أي خيط على الإطلاق.
وهي تذكرنا إلى حد ما بقصة رجل غني جداً سأله أحدهم كيف جمع ثروته فيروي القصة التالية:
"كنت أسير في الشارع ورأيت تفاحتين تتدحرجان على الأرض.
التقطتها، وصقلتها، واشتريت ثلاث تفاحات من ماكينة تسجيل المدفوعات النقدية.
لقد صقلتهم أيضًا وبعتهم والعياذ بالله، بحيث كان لدي في كل مرة المزيد من التفاح ...
ثم فجأة اتصلوا بي من أحد مكاتب المحاماة وأخبروني أنني كنت القريب الوحيد لمليونير توفي..."
أ. بن نير وإيهود:
شكرا لك على كلماتك.
كان واضحًا لي مسبقًا أن بعض الناس لن يفهموا. أعتقد أن هذه ليست مشكلة ذكاء، بل مشكلة استعداد للاستثمار، لأن الأمر يتعلق حقًا بأشياء قد يكون من الصعب اكتشافها، ولكن في رأيي - أي شخص يرغب في بذل جهد يمكنه أن يفهمها.
أبني اعتقادي بأن أي شخص يمكنه فهم الأشياء على الخبرة الجادة التي اكتسبتها منذ سنوات عديدة في إعطاء الدروس الخصوصية.
جاء الطلاب إلي بمعدل 4-5 درجات وعادةً بعد عدد محدود من الدروس وصلوا إلى متوسط 9-10 عندما كان الجهد الرئيسي الذي استثمرته فيهم موجهًا نحو استعادة ثقتهم بأنفسهم وتجديد حبهم للوطن. موضوع.
نعم! بدعة! من الأسهل بكثير العثور على طفل صغير يحب الرياضيات بدلاً من العثور على خريج مدرسة ثانوية يحب الرياضيات وأسباب ذلك كثيرة.
يمكنك إلقاء اللوم على المعلمين وهم بالتأكيد يتحملون جزءا من اللوم، لكن المشكلة تكمن في بيئة تحتوي على عنصرين مدمرين:
العنصر الوحيد هو أن الناس يفخرون (نعم! بشكل لا يصدق، لكنهم يفعلون ذلك!) بعدم قدرتهم على التعامل مع مسائل الرياضيات (بالطبع هذا مجرد سلوك خارجي ولكنه سلوك معدي يتبناه بسهولة أي طالب يواجهه). اي مشكلة).
المكون الثاني هو المنهج الذي لا يؤكد على جمال الأشياء والمتعة الكبيرة التي يمكن الحصول عليها من الفهم العميق للأشياء. إنه لأمر محزن للغاية عند مقارنتها بموقف الناس من الفن. لسبب ما، يشعر الناس بالراحة في تقدير الفن حتى لو لم يكونوا فنانين، ولكن في دراسة الرياضيات هناك جو تنافسي يغذي الظاهرة التي وصفتها بـ "العنصر الأول" وبالإضافة إلى ذلك يخلق موقفًا حيث الأشخاص الذين ليسوا فنانين كما أن علماء الرياضيات بالولادة لا يستطيعون تقدير جمال الأشياء.
أصبحت الأضرار الناجمة عن القدرة التنافسية واضحة بالنسبة لي في سن مبكرة للغاية.
تتطلب وظيفة والدي من عائلتنا نقل مكان إقامتنا من بلد إلى آخر عدة مرات.
في الواقع - باستثناء السنوات الأربع الأولى من المدرسة الابتدائية، لم أقضي أكثر من عامين في نفس المدرسة.
إنه أمر مدمر أثر بشكل كبير على دراسة أخي، لكنني كنت أسقط دائمًا على قدمي.
في آخر مدرسة كنت فيها (مدرسة بلجيكية في ألمانيا) كان هناك طالب وجدت معه لغة مشتركة بسرعة كبيرة لأنه كان يحب أيضًا الرياضيات والألغاز.
وكانت المشكلة أنه لم يستغرق وقتًا طويلاً قبل أن يكتشف أنني أتفوق عليه في قدراتي، وكانت النتيجة - رغم أنها قد تبدو مذهلة - أنه توقف عن حب الرياضيات.
لقد كان درسًا مهمًا بالنسبة لي، ولكن لم أتعلمه على الفور، بل درسًا لم أفهمه إلا بعد عدة سنوات وحاولت تطبيق هذا الدرس في التدريس الخصوصي.
يجب أن نجعل الناس قادرين على رؤية الجمال دون إثارة مشاعر الدونية لديهم (والتي تجد تعبيرها في النهاية في عرض النفور من الرياضيات أو في السخرية).
ما زلت أوصي أي شخص لم يبذل جهدًا كافيًا للفهم - أن يبذل جهدًا إضافيًا.
ثق بي أنه يستحق ذلك!
ودي:
فيما يتعلق بتعليقك على الرسم البياني - لا أرى الظاهرة التي تتحدث عنها.
في الواقع، تم إنشاء المخططات الثلاثة للمستطيل في الإثبات الأول من بعضها البعض (لقد قمت بإنشاء المستطيل بالشبكة السوداء، ثم وضعت الشبكة الحمراء على نفس المستطيل، ثم وضعت على النتيجة النسيج الذي تريد انظر في الثالث) لذا فمن المنطقي أن السطر المفقود في الأول سيكون مفقودًا أيضًا في الثاني، ولكن في هذه الحالة يجب أن يكون مفقودًا يوم الثلاثاء أيضًا.
على أية حال - لا أرى النقص الذي تتحدث عنه ولا أرى أيضاً مربعات في عمود المستطيلات (عمود المستطيلات مقصود لأن طول ضلعه غير كامل وبالتالي المستطيل غير مقسمة إلى مربعات).
يبدو لي أن هناك مشكلة ما في عرض المتصفح الخاص بك ولكن الحقيقة هي أنه حتى لو أردت التسبب في مثل هذه المشكلة، فلن أعرف كيفية القيام بذلك، لذلك يعد الأمر لغزًا بالنسبة لي حاليًا.
إذا لم أكن مخطئًا، ففي الرسم التوضيحي لشرح الدليل الأول، لا يوجد خط أسود، والمستطيل الكبير مقسم إلى مربعات، ثم فجأة يظهر عمود من المستطيلات يحتوي بالفعل على زوج من المربعات. لا يظهر الخط الأسود المفقود أيضًا
في الشكل الثاني.
מיכאל
أخلع قبعتي. البراهين جميلة تماما.
على الرغم من صعوبة صياغة حدس رياضي، ما الذي جعلك تفكر في الدليل الأول؟ ويبدو أن الطريقة "الطبيعية" للوصول إلى هذا البرهان تأتي من التكامل ثنائي الأبعاد، لكنك ذكرت أنك لم تسمع عن البرهان إلا من خلال التكامل المزدوج فيما بعد.
بالنسبة لأولئك الأشخاص الذين كانوا يبحثون عن قصة إطارية للغز، يمكنك التفكير في مرنان ليزر. بحيث مربع معين
سيكون هناك مرنان مطلوب لأنه سيكون له بُعد يساوي عددًا صحيحًا من نصف الأطوال الموجية. لذلك يمكنك أن تسأل
هل من الممكن تجميع صندوق أو مستطيل من مجموعة الرنانات المستطيلة بحيث لا يتم إنشاء مرنان؟
في رأيي، كان اختيار اللغز فكرة ممتازة لأن جمال الرياضيات يمكن تقديمه ببساطة هندسيا. لأن مثل هذا العرض لا يتطلب أي معرفة أو مفاهيم مسبقة لتفسيره.
إلى كل من يعلق قائلاً: "أنا من المستوطنة، لذلك لا أفهم ما هو مكتوب"
أو "المقالة صعبة الفهم...بلا..بلا..بلا" حسنًا أيها السادة،
ألف - ليس عليك قراءة كل مقال يتم نشره.
الصفحة الرئيسية - ليست كارثة أن تقرأ مقالاً مرتين أو ثلاثاً... ابذل جهداً... في نهايته
يمكن أن تؤتي ثمارها.
كل هذا بشرط أن يسمح لك وقتك بذلك.
ومايكل - شكرًا لك، من المثير للاهتمام أن أتذكر دراستي الجامعية منذ 30 عامًا تقريبًا.
مايكل،
لقد حاولت أن تشرح، فحاولت، وعلى الرغم من أنني أقدر ذلك (!) فقد تبين أنك ذهبت للبحث عن مملكة - ووجدت أثينا...
لن يجد القارئ العادي جمال الرياضيات، وبالمناسبة، سيشعر بأنه أحمق.
يبدو أن الجمال الذي لا يراه إلا ذوو العيون المفتوحة، وأولئك الذين ليس لديهم تلك الروابط العصبية المؤكدة جدًا في أدمغتهم، سيستمرون في الإعجاب بعلماء الرياضيات - لكنهم سيظلون طيورًا غريبة بالنسبة له في آن واحد. بطريقة او بأخرى.
هل فشل الشرح - أو ربما حلقت الرياضيات أعلى فأعلى؟
كلاهما.
وأنا هنا مع الجمهور..
رون:
أنا لا أستثمر فيك.
عيران:
بقولي "فضح المحتالين" لم أقصد أي شخص يرد هنا ولكن لجميع أنواع الأشخاص الذين يحاولون في جميع أنواع المناقشات أن يعلموني التفكير بل ويعلموني الرياضيات (ويتظاهرون بأنهم أولئك الذين يفهمون الأمر).
قد يكون سيمون سينغ معروفًا بالساحر لكنه لا يتعامل مع المسائل الرياضية.
الحد الأقصى يظهر نتائجها.
هذا ليس ما كنت أحاول القيام به هنا.
ليس لدي مشكلة مع المراجعة.
إلى مايكل:
أنا مهتم بمعرفة سبب نيتك لفضح المحتالين؟
بعض الأشياء الصغيرة:
1. أول شيء، اجتهد في العمل الجاد، وانظر إلى الاستثمار.
2. ما قصدته هو أن قلة قليلة من الناس يمكنهم الارتباط بالمقال، لسبب بسيط وهو أن كتابة مقال من هذا النوع سيكون مثيرًا للاهتمام للأشخاص الذين درسوا (على الأقل) المواد الأساسية في هذا المجال في الجامعة وأيضًا أن يكون واضحًا للناس العاديين أن هذا أمر معقد للغاية وقليلون هم القادرون على ذلك. ليس من قبيل الصدفة أن يُنظر إلى سيمون سينغ على أنه يمارس السحر في هذا المجال.
3. سأحاول قراءة المقال مرة أخرى، هذه المرة حتى النهاية.
4. تقوية النقد، أليس كذلك؟
كما قلت - تم بالفعل نشر حلول لهذا السؤال (التي قمت بحلها منذ حوالي أربعين عامًا (حقًا!)) ويمكنك اليوم العثور على بعضها على الإنترنت.
على سبيل المثال هنا:
http://www.inference.phy.cam.ac.uk/mackay/rectangles/
هنا:
http://www.helsinki.fi/filosofia/filo/jvp/coquand.pdf
هنا:
http://sbjoshi.wordpress.com/2008/07/31/rectangle-tiling-problem/
هنا:
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/22/Ford/Wagon601-617.pdf
وفي أماكن أخرى كثيرة.
ومع ذلك، يبدو لي أنه على الرغم من كل السنوات التي مرت، فإن الدليل الثالث الذي وصفته لا يزال فريدًا - سواء في بساطته أو في أداة التفكير التي يستخدمها.
מיכאל
أنت في دور المعلم وأنا في دور الطالب
أردت أن أفهم
أنا إنسان من المستوطنة ولم أفهم شيئًا، بالتأكيد ليس اللغز.
ربما يكون اللغز المتعلق بشيء عملي (وربما حتى قصة) أستطيع أن أتخيله هو الأفضل
مع الامتنان
اصدقاء:
نظرًا لأن هناك نقطة اقترحت مقالًا عن اللانهاية لمجموعة الأعداد الأولية، فقد قررت ببساطة إضافة تعليق هنا يثبت ذلك.
والدليل هو دليل بسيط عن طريق النفي.
لنفترض أن هناك مجموعة محدودة من الأعداد الأولية التي سنسميها P1,P2,P3,……Pn
إذا نظرنا إلى الرقم P1xP2xP3x....xPn +1 فإن هذا الرقم غير قابل للقسمة على أي من هذه الأعداد الأولية (لأن هناك دائما ما تبقى من 1 في القسمة) وبالتالي يجب أن يكون إما عددا أوليا آخر في حد ذاته أو أن يكون قابلا للقسمة بواسطة عدد أولي آخر لا يظهر بين الأعداد الأولية المذكورة.
بمعنى آخر - لقد أظهرنا أن كل مجموعة محدودة من الأعداد الأولية تحتوي على عدد أولي واحد على الأقل غير موجود فيها، وهو MSL.
جونز:
لقد تم نشر المقال بالفعل.
حاولت صياغة السؤال بشكل أكثر بساطة في التعليقات.
أفترض أنك في النهاية فهمت السؤال لأنه بخلاف ذلك لن تتمكن من فهم الأدلة (لأنك لن تتمكن من فهم ما كانوا يحاولون إثباته).
لا أعرف بالضبط ما المغزى من النقطة التي تتفقون معها، وقبل كل شيء أود أن أعرف إذا كان هناك أي شيء تطلبونه مني في هذا الصدد.
من حيث المبدأ - كنت أعلم مسبقًا أن هذه مقالة ثقيلة إلى حد ما بالنسبة لموقع العلوم (وقد حذرني والدي وروي أيضًا من هذه النقطة مسبقًا)، لكنني اعتقدت أن هناك فائدة من نشرها الآن على وجه التحديد لأنه التعليقات التي قرأتها في مقالات مختلفة (خصوصًا تلك التي كتبها ليران زيدمان) أظهرت لي أن شيئًا من هذا النوع ضروري لبعض الأشخاص (ربما - وليس أولئك الذين ردوا هنا - لم يرد أي منهم على صيغة السؤال الذي نشرته حتى قبل ذلك) نشر المقال).
لقد فهمت الأدلة ولكن ليس السؤال
وأنا أتفق نقطة نقطة
شيء آخر لعيران م:
بالتأكيد كان بإمكاني أن أكتب مقالًا عن موضوع مختلف وكان من المؤكد أنه سيكون أبسط وربما كان هناك عدد أكبر من القراء.
علاوة على ذلك - كتبت أيضًا مقالات أخرى.
النقطة المهمة هي أنه لا يمكن نقل محتوى هذه المقالة بطريقة بسيطة تمامًا، ولا يمكن الشعور بما يعنيه حل لغز رياضي.
في المناقشات هنا قدمت هنا وهناك حلولًا للألغاز الرياضية الأبسط.
كما قدمت بعض الألغاز التي لم تعد بسيطة ولكني لم أقدم حلها لأنه على عكس هذا اللغز - لم يتم نشر حلولها في أي مكان وهذا يتيح لي استخدامها لكشف الدجالين.
لا أعرف كيف تحدد الشخص الذي "يمكن الوصول إليه في الرياضيات" ولكن الكثير من الأشخاص الذين لديهم بالفعل "إمكانية الوصول إلى الرياضيات" قد قرأوا نسخًا مختلفة من هذه المقالة ويجب أن أقول إن ردود هؤلاء الأشخاص كانت متحمس حقا.
الشيء بالطبع ليس لأولئك الذين كسالى في التفكير.
بوريس:
لقد ذكرت هذا الدليل في المقالة ولكنه ليس أبسط ولكنه أكثر تعقيدًا بكثير.
من بين أشياء أخرى، تحتاج إلى معرفة كيفية إجراء التكاملات المزدوجة، وحتى في هذه الحالة، لا يكون الأمر تافهًا تمامًا.
عيران م:
تقول هذا رغم عدم وجود صيغة في المقال؟
نقطة:
لم أكن أريد أن أحضر أي شيء تافه.
وربما كان عليّ أن أكتفي بالدليل الثالث الذي يبدو لي أن أحداً منكم لم يصل إليه رغم تحذيراتي.
هناك مقولة مفادها أن كل معادلة إضافية تقلل عدد القراء المحتملين إلى النصف.
كشخص يمكن الوصول إليه فعليًا في الرياضيات، لم أتمكن من قراءته.
هناك دليل أكثر أناقة بكثير:
خذ تكاملًا مزدوجًا
الخطيئة (2 * بي * س) * الخطيئة (2 * بي * ص) دكس * دي
على مساحة المستطيل بأكمله.
من السهل جدًا إثبات أن الأصفار المتكاملة إذا وفقط إذا كان أحد جوانب المستطيل مكتملًا (تمرين!).
وبما أن التكامل على المستطيل يساوي مجموع التكاملات على قسمته وكل تكامل في مجموع الأصفار، فإن التكامل على المساحة بأكملها صفر. ومن ثم فإن المستطيل له جانب كامل. خاص
وبطبيعة الحال، يمكن أن يمتد الدليل إلى أي بعد.
أول فكرة تبادرت إلى ذهني هي "ما هذه الصيغة الغامضة للغز"
الفكرة الثانية تقول أنه ربما يقرأ عالم الرياضيات هذا جملة بسيطة مثل x+x=2x
أتفق مع نقطة النقطة.
من الصعب على شخص من المستوطنة متابعة المقال.
رأيي هو أن اللغز تقني للغاية ولا يُظهر ما كنت تحاول إظهاره... وسيكون من الأفضل بالتأكيد استخدام الطول/العرض. ويضيف أيضًا مثالًا يوضح ما يطلبه اللغز.
ربما كان من الأفضل أن نتوصل إلى شيء أنظف وأكثر أناقة، شيء مثل الدليل على أن هناك عددًا لا نهائيًا من الأعداد الأولية. والتي تنطوي على بعد واحد فقط.
وربما يمكن صياغتها هكذا:
إعطاء مستطيل مبلط بمستطيلات داخلية (ليست بالضرورة متساوية).
إذا علمنا أن الطول أو العرض في كل من المستطيلات الداخلية يساوي عددًا صحيحًا من السنتيمترات.
وقد ثبت أنه حتى في المستطيل الخارجي فإن الطول أو العرض يكون عدداً صحيحاً من السنتيمترات.
هناك مشكلة صغيرة في هذه الصياغة لأنه قد لا يفهم شخص ما أن هذا ينطبق أيضًا على المليمترات أو البوصات وربما لا يفهم أيضًا أن هناك احتمال أن يكون لكل من الطول والعرض قياس كامل ولكنه قد يكون من الممكن التنازل عن هذه الأمور.
صدفة:
أحد الأسباب التي دفعتني إلى نشر اللغز أولاً (في مقالة رامانوجان) هو التأكد من فهم الناس له.
كانت هناك أسئلة وتوضيحات والنسخة الحالية تحاول الإجابة على الصعوبات التي نشأت هناك.
من حيث المبدأ، أود استخدام مصطلحي "الطول" و"العرض" بدلاً من "الأبعاد" ولكن هناك مشكلة في تعبيرات مثل "طول الطول" أو "طول العرض"
نقطة:
هل فهمت أخيرًا ما هو اللغز؟
هل لديك اقتراح للصياغة البديلة؟
مايكل شالوم، شكرًا لك على المقالات التي تكتبها، وعلى الجهد الذي تستثمره في غرس حب العلم والتفكير الصحيح لدى جميع القراء الذين يريدون المعرفة من أجل المعرفة.
أود أن أشير إلى أنني في البداية لم أشعر بالارتياح لصياغة اللغز الأول، ربما تمت صياغته بدقة، لكنه بالتأكيد لم يتم صياغته بطريقة واضحة لشخص من المستوطنة يحاول أن يفهم ما الذي يطلبه اللغز، وهذا بالضبط هو الشيء الذي أعتقد أنه يبعد الناس عن العلوم بشكل عام والرياضيات بشكل خاص. وهذا بالضبط ما تتناوله المقالة 🙂
تصحيح لي إذا كنت مخطئا.