يعتقد أدولف كتلا أنه قادر على وضع البشر في نفس الإطار الصارم الذي وضعته الإحصائيات. وزعم كاتالا أن "المصادفات هي مجرد حجاب يغطي جهلنا".
بالنسبة لمعظمنا، الأشخاص الذين لا يعرفون الأرقام والمعادلات إلا من خلال الدروس المملة في المدرسة، يبدو هذا الموضوع برمته تقنيًا ومملًا ومملًا - ولكن أي عالم رياضيات سيخبرك أن الرياضيات جميلة. إنها تتمتع بأناقة مذهلة تتجلى بشكل أساسي عندما تكتشف مدى قدرتها على ربط الظواهر الطبيعية التي تبدو في ظاهرها غير مرتبطة تمامًا ببعضها البعض. والقصة التالية سوف تظهر هذه الأناقة.
ولد أدولف جاك كويتيليت (كيتيليت) في مدينة غنت البلجيكية عام 1796. لقد كان أديبًا حقيقيًا: فقد كتب الشعر وألّف المسرحيات وترجم الكتب وقام أيضًا بتدريس الرياضيات والفيزياء وعلم الفلك. لقد كان عالمًا ناجحًا، وأول من حصل على لقب "دكتوراه في العلوم" من جامعة غنت.
في عام 1823 تم إرسال كاتيلا إلى باريس. كان الغرض الأصلي من الزيارة هو التخصص في علم الفلك، ولكن في فرنسا التقى كاتيلا بأحد أعظم علماء الرياضيات في جيله - بيير سيمون لابلاس. لقد كان لقاءً مصيريًا لكاتيلا، حيث أشعل لابلاس فيه حبًا كبيرًا للإحصاءات.
كان الإحصاء مجالًا شابًا وغير متطور في تلك الأيام، لكن علماء الرياضيات الذين تعاملوا مع هذا الموضوع تمكنوا بالفعل من اكتشاف بعض الحقائق المثيرة للاهتمام.
لنفترض، على سبيل المثال، أننا نقيس درجة حرارة دلو من الماء المغلي باستخدام مقياس الحرارة. مقياس الحرارة ليس مثاليًا، لذلك في كل مرة نضعه في الدلو، سنحصل على نتيجة مختلفة. ستكون التغييرات ضئيلة - أجزاء من الدرجة هنا أو هناك: في أحد القياسات نقرأ 100.5 درجة، وفي القياس التالي ربما 99.5 درجة.
للتأكد من نتيجة قياسنا، سنقوم بإجراء آلاف القياسات المختلفة ونسجل النتائج في رسم بياني: سيكون المحور الأفقي في الرسم البياني هو درجة الحرارة المقاسة والمحور الرأسي - كم مرة حصلنا على نفس القياس.
الرسم البياني الذي سنحصل عليه سيكون على شكل جرس: منطقة مركزية عالية وهوامش تصغر تدريجياً. سيكون هناك الكثير من القياسات التي تتحرك حول نقطة المائة درجة، وبعض القياسات التي تبتعد عنها أكثر فأكثر - على سبيل المثال، عشرة قياسات لـ 101 درجة، و5 قياسات لـ 102 درجة، و3 قياسات فقط لـ 104 درجات.
واجه علماء الرياضيات هذا الرسم البياني الجرسي في العديد من التجارب المختلفة في الفيزياء. في كل مرة تقريبًا يتم تكرار القياس مرارًا وتكرارًا، على سبيل المثال - قياس السرعة والتيار الكهربائي والطول والعرض وما إلى ذلك - كانت النتيجة منحنى الجرس. في الواقع، أنتجت العديد من التجارب والقياسات نفس شكل الجرس الذي أطلق عليه اسم "التوزيع الطبيعي": هذه هي الطريقة التي تتصرف بها الطبيعة بشكل طبيعي.
لكن الفيزياء شيء والبشر شيء آخر. نحن لسنا دلو ماء بدرجة حرارة واحدة - نحن مختلفون عن بعضنا البعض. يبدو كل واحد منا مختلفًا: طويل، قصير، نحيف، سمين، أصلع، مشعر وغير ذلك الكثير. يبدو أن الاختلافات بين البشر عشوائية تمامًا.
يعتقد أدولف كتلا أنه قادر على وضع البشر في نفس الإطار الصارم الذي وضعته الإحصائيات. وزعم كاتالا أن "المصادفات هي مجرد حجاب يغطي جهلنا".
ولإثبات وجهة نظره، قام كاتيلا بقياس طول مائة ألف مجند في الجيش الفرنسي، ورسم النتائج على الرسم البياني. طول معظم الجنود يحوم حول قيمة معينة - مثلا متر وسبعين سنتيمترا - وكلما ابتعدت عن تلك القيمة، انخفض عدد الجنود. ولا يرتفع إلا جزء صغير منها إلى ارتفاع متر وتسعين أو متر وخمسين. إذا كان هذا الوصف يبدو مألوفًا بالنسبة لك، فأنت على حق: الرسم البياني الذي تلقته Katla كان على شكل...جرس.
ومن ثم، فإن طول الإنسان يخضع أيضًا لنفس التوزيع الإحصائي "العادي" لقياسات درجة الحرارة. وجدت كاتلا ترتيبًا معينًا في السمات البشرية والذي يبدو في ظاهره عشوائيًا تمامًا. كما قام كتلا بقياس محيط الصدر لستة آلاف جندي اسكتلندي، وحصل مرة أخرى على نفس التوزيع الطبيعي.
ما هي العلاقة بين سلوك مقياس الحرارة في دلو من الماء المغلي وارتفاع الجنود الفرنسيين؟ في ظاهر الأمر، هذه ظواهر مختلفة تمامًا. حاول كاتيلا حل هذه المعضلة بتفسير مبتكر: فقد جادل بأن الطبيعة كانت تحاول خلق إنسان (في هذه الحالة، جندي فرنسي) ذو ارتفاع "مثالي". لكن الطبيعة تفتقد. فبدلاً من جندي ذي الطول المثالي، ينتج جنديًا "خطأ" بطول مختلف عن المطلوب. يؤدي تراكم هذه الأخطاء إلى إنشاء منحنى الجرس، وهو نفس منحنى الجرس الذي يؤدي أيضًا إلى إنشاء أخطاء قياس درجة الحرارة في الدلو.
بالنسبة للعيون الحديثة، من السهل أن ترى أن كيلا مخطئ تمامًا. الطبيعة لا تحاول "خلق" أي شيء، وإذا كانت تحاول بالفعل خلق شيء مثالي - فمن المؤكد أنها لا يمكن أن تكون جنديًا فرنسيًا.
ولتعقيد الأمور أكثر، قررت كاتالا قياس أشياء مختلفة تمامًا. على سبيل المثال، معدل الانتحار في مدينة معينة، أو شدة الجريمة حسب السنة، أو توزيع سن الزواج. وحتى هناك، اكتشف أن الرسم البياني يبدو كما هو تمامًا: التوزيع الطبيعي.
أهمية هذه النتيجة ليست أقل من مذهلة. نفس القانون الرياضي، نفس "المعادلة" إذا صح التعبير، التي تصف الظواهر في عالم الفيزياء وعلم الفلك - تصف أيضًا ظواهر غير مادية تمامًا، مثل سن الزواج في بلجيكا وفرنسا. هناك ارتباط عميق وخفي بين مجالين يبدوان مختلفين تمامًا على السطح، وهذا الارتباط رياضي. ما معنى هذه النتيجة - وأمثالها كثيرون - في نظرتنا للعالم؟ هل الرياضيات هي نوع من القماش الذي يرسم عليه واقعنا، وهو بمثابة خلفية مشتركة لكل ظاهرة نواجهها؟ هذا هو السؤال الذي أذهل فلاسفة الرياضيات لآلاف السنين، ومن المحتمل أن يستمر في ذلك في المستقبل المنظور.
[قصة كاتالا مأخوذة من كتاب "هل الله عالم رياضيات"، بقلم ماريو ليفيو. ران ليفي كاتب علمي مشهور ويستضيف البودكاست "صنع التاريخ!" عن العلوم والتكنولوجيا والتاريخ. www.ranlevi.co.il]
تعليقات 41
أود أن أثبت أن التوزيع الطبيعي وراثي. وهل هناك ظواهر أخرى غير ظاهرة الترمومتر تقوض هذا القرار؟
ر.ح.:
يبدو من غير المعقول بالنسبة لي أن يكون طول الأشخاص عبارة عن مجموع (أو متوسط) للكثير من المتغيرات المستقلة وقيمة التوزيع.
علاوة على ذلك، فإن هذا الادعاء لا يتعلق بالطول فحسب، بل يتعلق بكل شيء تقريبًا، وكان الارتفاع مجرد مثال.
هل من الممكن أن يكون كل شيء تقريبًا عبارة عن مجموع المتغيرات المستقلة وقيمة التوزيع؟
إله،
أنت توضح هنا بشكل جيد آلية ادعائي بأن الظاهرة التي تتكون من عدة معلمات مستقلة ستظهر غالبًا توزيعًا طبيعيًا حتى لو كان لكل معلمة قيمتان فقط (كما في مثالك متر واحد ومترين).
لا أفهم لماذا تعتقد أنه لا يوجد توزيع طبيعي لأطوال الأشخاص؟
راه وليزا:
التوزيع يسمى في الواقع عادي لأنه طبيعي.
هذا لا يعني أنه يجب أن يكون بالضبط شكل الجرس الموصوف بواسطة وظيفة معينة.
كمبدأ، ليس من الواضح أنه سيكون هناك أي سلوك يمكن وصفه بأنه "طبيعي".
نظرية الحد المركزي هي نظرية مهمة تقول أنه عندما يكون هناك العديد من اليانصيب بنفس التوزيع فإن متوسط نتائجها يميل إلى التوزيع الطبيعي (في تعريفه الرياضي) مع زيادة عدد اليانصيب.
هذه عبارة جميلة ومهمّة وهي تشرح حقًا لماذا - إذا أخذنا عينات من عدد كبير جدًا من الأشخاص وقمنا بقياس متوسط الطول - وكررنا العملية عدة مرات - سيتم توزيع المتوسطات المختلفة على منحنى يقترب من التوزيع الطبيعي - كما هو الحال مع يزداد حجم العينات.
لكن هذا لن يجعل منحنى توزيع أطوال الأشخاص يبدو وكأنه توزيع طبيعي!
من أجل التوضيح - لنفترض عالمًا خياليًا لا يوجد فيه سوى ارتفاعين محتملين للشخص - متر واحد ومترين باحتمالات متساوية.
إذا أخذت عينة من مائة شخص وقمت بحساب متوسط طولهم، فسوف تحصل على رقم يتراوح بين 1 و2.
إذا أخذت ألفًا من هذه العينات وقمت بحساب متوسطاتها، فسوف تنتشر هذه المتوسطات على منحنى جرس قريب من التوزيع الطبيعي.
(في الواقع سيحدث شيء آخر - كلما كبرت العينات تغير هذا التوزيع لأن تباينها سيتناقص وتتركز نسبة أكبر نسبيا منها حول متوسط الارتفاع وهو 1.5 متر في هذا المثال. وهذا النقصان في التباين يجعل استمرار المنحنى إلى ما لا نهاية أقل أهمية).
ومن ناحية أخرى - إذا أخذت مئات الآلاف من الأشخاص - فلن يتم توزيع أطوالهم على أي منحنى جرس!
وسيظل ارتفاع بعضها مترًا واحدًا وارتفاع البعض الآخر مترين. على الأرجح ستكون هذه الأجزاء متشابهة تمامًا في عدد الأشخاص فيها. من المؤكد أنه لن يتم العثور على شخص يبلغ طوله 1.5 مترًا، على الرغم من أنه في توزيع المتوسطات التي قمنا بها، كان 1.5 في الواقع متوسط الارتفاع ذو الاحتمالية الأعلى.
القصة مع النرد مشابهة.
إذا أخذت ألف عينة من 100 لفة من زوج من حجر النرد - فسيتم توزيع متوسطات هذه العينات على منحنى يشبه التوزيع الطبيعي.
إذا أخذت عينة واحدة مكونة من 100,000 رمية - فمن المحتمل أن يتم توزيع النتائج على مثلث.
لذلك - لا يوجد توزيع طبيعي لرمي زوج من النرد.
لهذا السبب - يعد التوزيع الطبيعي لأطوال الأشخاص أمرًا مفاجئًا (إذا كان موجودًا، ولكن - في رأيي، فهو غير موجود حقًا أيضًا، وكما هو الحال مع قياسات العديد من الظواهر الطبيعية، فهو مجرد تقدير تقريبي مناسب. التفسير البديهي لذلك هذا تقريب جيد يعتمد على افتراض أن طول كل شخص هو في الواقع متوسط عدد كبير من اليانصيب مع نفس التوزيع تقريبًا - وهو أمر يمكن تبريره إذا كان هناك - دعنا نقول - 100 جين، كل منها الذي يحتوي على العديد من الأليلات المحتملة وجميع الجينات لها تأثير مماثل على الطول)
ر.ح.:
أوافق على أنه يمكن للمرء تقريبًا أن يعتقد أنه عند دراسة الظواهر في الطبيعة، يمكن للمرء أن يعتقد بشكل حدسي أن بعض القيم ستكون شائعة جدًا والبعض الآخر أقل شيوعًا. ولكن هذا لا يكفي لوصف التوزيع الطبيعي.
فيما يتعلق بوزن الأشخاص أو لون أعينهم - أنا شخصياً لا أرى أي سبب مسبق لافتراض أن هذه الظواهر سيتم توزيعها بشكل طبيعي (ولكن من الناحية العملية، يتبين أن العديد من الظواهر يتم توزيعها بالفعل بهذه الطريقة).
ما هي المتغيرات العشوائية التي يحدد مجموعها وزن الشخص أو طوله؟
ليزا،
التوزيع الطبيعي ليس شيئا غامضا. وفي كثير من الأحيان يمكن العثور على تفسير لذلك. على سبيل المثال، عندما تكون هناك ظاهرة تنتج عن مزيج من عدة عوامل مستقلة، نتيجة للمجموعات، سيتم الحصول على التوزيع الطبيعي. على سبيل المثال مجموع النرد. مثال آخر هو وزن الأشخاص الذي يتم توزيعه بشكل طبيعي. في أقصى الحدود، سيكون هناك أولئك الذين لأسباب وراثية + نقص الطعام سيكونون نحفاء للغاية، وعلى الجانب الآخر، أولئك الذين لأسباب وراثية وسلوكية للإفراط في تناول الطعام سيكونون سمينين للغاية. الجميع سيكونون في المنتصف. ما هو الغامض هنا؟
يرجع السبب في ضعف اللون أو الطول إلى عدة جينات، لذا فإن مجموعات مختلفة منها ستؤدي إلى أشكال مختلفة. فقط شروف نادر جدًا سينتج عنه ارتفاع يزيد عن مترين أو أقل من متر (في شخص بالغ)، لذا مرة أخرى ليس هناك عجب أو غموض هنا.
ر.ح.:
هذه أيضًا طريقة للنظر إلى الأشياء، لكني أنظر إلى الأشياء على النحو التالي:
هناك العديد من الظواهر في الطبيعة موزعة وفق توزيع معين، وهذا أمر يثير الدهشة في حد ذاته.
والآن بعد أن اكتشفوا هذا الاكتشاف المذهل، قرروا أن يطلقوا على هذا التوزيع اسم التوزيع الطبيعي، لأنه بالفعل اتضح أنه توزيع شائع جدًا (لكن هناك العديد من الظواهر التي لا يتم توزيعها بشكل طبيعي).
والأمر الثاني المثير للدهشة لا يرتبط مباشرة بالظواهر المرصودة في الطبيعة، بل بعالم الرياضيات الافتراضي. هذه هي نظرية النهاية المركزية وتقول ما يلي:
خذ تقريبًا أي توزيع تريده (حتى عن طريق كتابة التوزيع على الصفحة) وابدأ الآن في أخذ عينات من التوزيع واجمعها. المجموع هو متغير عشوائي في حد ذاته ويميل إلى التوزيع، والذي يسمى عادي، كلما زاد عدد العينات التي نأخذها.
تُستخدم النظرية الرياضية أحيانًا كتفسير لـ "طبيعية" التوزيع وحقيقة أنه شائع جدًا في الطبيعة.
ليزا،
ربما أفتقد شيئًا ما هنا، التوزيع الطبيعي يسمى عادي لأن الكثير من الظواهر تتصرف وفقًا له وهو طبيعي. إذن ما الذي يثير الدهشة في الطبيعي؟ عادة ما يكون غير الطبيعي مفاجئًا.
ر.ح.:
وما يذهلني (على الأقل بالنسبة لي) هو أن هذا لا يعتمد إطلاقا على توزيع المتغيرات العشوائية التي تم جمعها (إلى حد التوزيعات ذات المدة أو التباين غير المحدود).
وتجدر الإشارة إلى أن توزيع المبلغ يسعى بالضبط إلى التوزيع الطبيعي وليس فقط لشيء يشبه الجرس بشكل عام.
ليزا، لماذا هذا مدهش؟ إذا كان هناك العديد من المعلمات التي لا تعتمد على بعضها البعض وتخلق ظاهرة قياس، فمن المفترض أن هذا هو ما ستحصل عليه.
المثلث لأن القيم قليلة وهو تقريبي، افعل نفس الشيء مع المكعبات اللانهائية وستحصل على الجرس الخاص بك. يعتمد أي حساب للاحتمالات على أكبر عدد ممكن من التجارب. اقلب العملة المعدنية 3 مرات ولن تتمكن من استنتاج أي شيء حول احتمال الحصول على شجرة.
وبطبيعة الحال، المثلث هو أيضا نوع من الجرس.
لهذا السبب يطرح السؤال بالفعل - ماذا تريد أن تسمي الجرس.
وبشكل عام، من الممكن وصف المتغيرات التي يتم توزيعها بطريقة لا تعطي حتى شكلاً متماثلاً.
ر.ح.:
أفترض أنك تقصد نظرية الحد المركزي المذكورة هنا. إذا وضعناها في مثال النرد الذي قدمته، فسنجد أن مجموع الأرقام هو بالفعل متغير سيقترب توزيعه من التوزيع الطبيعي كلما زاد عدد النرد الذي نأخذه.
المدهش في النظرية أنها صالحة تقريبًا لأي توزيع للمتغيرات التي تم جمعها (في حالة المكعبات كان توزيعًا موحدًا على قيم المكعب)
تُستخدم هذه الحقيقة أحيانًا كتفسير للوجود الواسع النطاق للتوزيع في مختلف الظواهر في الطبيعة. ومن المعتاد أن نفترض، على سبيل المثال، أن الضوضاء في القياسات يتم توزيعها بشكل طبيعي، والتفسير المقدم هو أن الضوضاء هي مجموع العديد من العوامل الأصغر.
وهذا ليس له ما يبرره دائما، ولكن هناك أيضا سبب هندسي لهذا الافتراض، وهو أن التوزيع الطبيعي للضوضاء يبسط إلى حد كبير النمذجة الرياضية للظواهر.
ر.ح.:
لا.
إذا رسمت لنفسك جدول 7×7 يمثل فيه الصف العلوي (بدءًا من العمود الثاني من اليمين) نتيجة المكعب A والعمود الأيمن سيمثل (بدءًا من الصف الثاني من الأعلى) نتيجة المكعب B ، ستتمكن من ملء فتحات الجدول بالكمية التي تم الحصول عليها عن طريق الرمي المتمثلة في الجمع بين الصف والعمود.
احتمال كل فتحة في الجدول هو 36 / 1.
وبالتالي يتم الحصول على 2 باحتمال 36 / 1
يتم الحصول على 3 باحتمال 36 / 2
يتم الحصول على 4 باحتمال 36 / 3
يتم الحصول على 5 باحتمال 36 / 4
يتم الحصول على 6 باحتمال 36 / 5
يتم الحصول على 7 باحتمال 36 / 6
يتم الحصول على 8 باحتمال 36 / 5
يتم الحصول على 9 باحتمال 36 / 4
يتم الحصول على 10 باحتمال 36 / 3
يتم الحصول على 11 باحتمال 36 / 2
يتم الحصول على 12 باحتمال 36 / 1
إذا قمت برسم الرسم البياني سوف تحصل على مثلث
أنت عالم الرياضيات. يبدو لي أنه من الممكن إثبات أن أي ظاهرة تتكون من عدة عوامل سوف تتصرف على شكل جرس.
على سبيل المثال، سيُظهر مكعب واحد انتشارًا متساويًا لجميع القيم، لكن سيُظهر مكعبان توزيعًا جرسيًا يحتوي على 7 في المنتصف و12 و2 على الجانبين. هل أنا على حق؟
ر.ح.:
لا تتفاجأ بأنك لم "تصل إلى أعلى المقالة".
وكما قلت، فإن كل الدهشة التي عبر عنها المقال تدور حول التشابه الرياضي بين الظواهر غير المرتبطة.
وكما أوضحت - فإن الدهشة ليست مبررة حقًا لأن هذا التشابه الرياضي غير موجود بالفعل، والوصف الرياضي لمنحنى الجرس ليس وصفًا دقيقًا للواقع ولكنه مجرد تقريب مناسب.
أنت لا ترى في "الجرس" سوى وصف عام لمظهر المنحنى، لذلك لا أستغرب أنك لا تتفاجأ 🙂
ففي نهاية المطاف، كل الدهشة (التي ليست مبررة في رأيي) تنبع من إعطاء أهمية زائدة للدالة الرياضية المختارة.
لا أفهم ما الذي يثير الدهشة. سأكون مندهشًا أكثر بكثير إذا كانت غالبية الظواهر ظواهر متطرفة، أي عكس الجرس حيث تتركز معظم العينات في الأطراف والأقلية في المركز أو ظاهرة حيث يكون عدد العينات في كل منها القيمة متساوية.
ر.ح.:
النقطة هنا هي أن المقال يتحدث عن المنحنى الرياضي المسمى بمنحنى الجرس.
فالأمر برمته رياضي في نهاية المطاف، وهذا هو مصدر الدهشة الواضح.
أقتبس: ... حسنًا - أنا نادم ولا أقتبس... ذهبت لاختيار جملة لأقتبسها ورأيت أن كل جملة تقريبًا تقول هذا وأجد صعوبة في الاختيار.
زفي 20، مرجعك هو عكس فهمي، ربما لأنك عالم فيزياء وأنا عالم أحياء وهذا هو بالضبط الفرق بين هذين المجالين :). أنت تدعي أن "هناك العديد من الأشكال التي تشبه الجرس ولكنها لا تحمل نفس المعادلة." إلا أنني أرى العكس تماما - هناك ظواهر كثيرة في الطبيعة تتوزع على شكل جرس، لكن المعادلة التي قدمتها لا تصفها بالضبط لأنها لا تفترض حواجز.
ما أريد قوله هنا هو أن الظواهر لا تتصرف وفق معادلة، ولا ينبغي لها ذلك، بل من المفترض أن تصف المعادلة المصطنعة الظواهر وتتنبأ بسلوكها.
حسنًا، أنا أتفق مع ذلك.
من المهم التأكيد على أن الميكانيكا الإحصائية، على الأقل في البداية، كانت كلاسيكية تمامًا (إذا لم أكن مخطئًا، فإن مفارقة جيبس في حساب إنتروبيا الغاز المثالي كانت أول مكان دخلت فيه فكرة الكم) وببساطة، كما لقد ذكرت، لقد أدركت أنه كان من الصعب وغير المجدي حساب مسار كل جزيء
الغزال
لم أحاول الادعاء بأن منحنى الجرس نفسه له آثار مباشرة على الميكانيكا الإحصائية أو ميكانيكا الكم، على الرغم من وجود بعضها، على الأقل بالنسبة للفيزياء الإحصائية كما ذكرت. كان الفهم الذي جاء في البداية مع الفيزياء الإحصائية هو أننا في بعض الأحيان لا نملك القدرة على تتبع جميع درجات حرية النظام وعلينا أن نتعامل معها إحصائيا، أي معالجة حجم المتوسط للانحراف المعياري أو الارتباطات. إن الفهم بأننا لا نستطيع الوصول إلى جميع درجات الحرية أو أن هذه في الواقع لا تحددها القوانين الدرامية كان مبنيًا على نظرية الكم. في رأيي، يختلف هذا المفهوم اختلافًا جوهريًا عن مفهوم الميكانيكا الكلاسيكية التي يتم فيها تقديم وصف كامل للنظام في أي لحظة. منحنى الجرس هو في رأيي مدخل للإحصاء إلى الفيزياء، ولذلك أعلق عليه أهمية كبيرة.
آر إتش،
إن توزيع اسم الجرس مضلل - فهناك العديد من الأشكال التي تشبه الجرس ولكنها لا تحقق نفس المعادلة.
منحنى الجرس الذي نتحدث عنه هو شكل غوسي (e^-x^2 حتى يتم ضربه بثابت طبيعي) - مثل هذا الشكل بحكم التعريف لا يتم حظره بين القيم ولكنه يمتد إلى ما لا نهاية على كلا الجانبين).
ودي،
العلاقة التي ذكرتها بين منحنى الجرس والميكانيكا الإحصائية مفهومة في توزيع ماكسويل، أو في التقلبات حول نقطة التوازن الديناميكي الحراري. سأكون مهتمًا بتوضيح سبب ادعائك بأن فهم منحنى الجرس كان مهمًا جدًا لنظرية الكم - لاحظ أنه في الميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية لم يتم إدخال العشوائية الحقيقية في العلم - لا يزال المفهوم حتميًا تمامًا وهذا على النقيض من نظرية الكم، لذلك في رأيي الأمر مختلف تمامًا.
العلم يتعامل مع المثالية. ويقارن العلم الظواهر في الطبيعة بنماذج مثالية غير موجودة عمليا، فمثلا: سقوط جسم على وجه الأرض لا يسقط.
وله عزم الدوران وقوى الجاذبية لمختلف الأجسام، بما في ذلك القمر. وعلى الرغم من كل ذلك فإن النموذج البسيط لـ
الجسم الساقط على سطح الأرض هو نموذج لنقطة كتلة تتحرك تحت تأثير جاذبية الأرض دون احتكاك. يقوم العلم أيضًا بنفس النوع من المثالية فيما يتعلق بالضوضاء في التجربة ويقربها من التوزيع المثالي، أي منحنى الجرس. مدى جودة التقريب يعتمد دائمًا على الحالة التي يتم فحصها.
في رأيي، الشيء المثير للاهتمام في منحنى الجرس هو، أولاً، التقدم التكنولوجي الذي جعل من الممكن في كثير من الحالات البدء بالحديث عن الدقة في التجارب. وعندما بدأوا في ملاحظة التناقضات بين النماذج والتجارب وبدأوا في قياس هذا التناقض، بدأوا في فهم أهمية الإحصاء في العلوم. ثانيا، في رأيي، أدى هذا الفهم إلى الفيزياء الإحصائية وبعد ذلك إلى نظرية الكم. منحنى الجرس هو بداية إدخال العشوائية في العلم!
يهودا ومك إيل، العديد من الظواهر في الطبيعة تتصرف على شكل جرس بقيم دنيا وأقصى. من قال أن الجرس يجب أن يذهب إلى ما لا نهاية؟
خذ على سبيل المثال توزيع الطول للإنسان والذي يبدأ من بضع عشرات من السنتيمترات عند الطفل كحد أدنى لنقول 2.5 كحد أعلى مع ما يقرب من 7 مليار عينة تدور بين هذه القيم على شكل جرس .
لم يكن القصد من سؤالي يتعلق بالرياضيات التي اتفق على أن لها جرسا
فيما يتعلق ببقية إجابتك - هناك طعام للتفكير هنا.
يهودا
يعتمد على ما يتضمنه مصطلح "الطبيعة".
أعتقد أنه إذا طلبنا من الأشخاص اختيار أرقام عشوائيًا (إيجابية أو سلبية - أيًا كان ما يريدون) - فسنحصل على توزيع جرس جيد جدًا.
وبطبيعة الحال، حتى ذلك الحين سيكون تقريبيا لأنه سيكون بمثابة جرس "مبعثر" على عدد محدود من القيم في حين أن الجرس الحقيقي مستمر، ولكن أعتقد أنه سيظل يجوز الإشارة إليه على أنه جرس (نظرًا لأن كل إحصائية سنقوم بتجميعها ستعتمد على عدد محدود من العينات).
هل يجب تسمية تجربة مثل تلك التي وصفتها بظاهرة طبيعية؟ إنها بالفعل مسألة قرار.
بشكل عام - يمكن رؤية توزيع نفس الظاهرة بطرق مختلفة حسب الحجم المقاس.
يمكنني قياس ظاهرة لا تنتج إلا قيمًا موجبة ولكن يمكن تمثيل نفس النتائج (العددية) بواسطة لوغاريتم الظاهرة ثم توزيعها على الخط المستقيم الفعلي بأكمله.
ومن ثم يمكن أن يكون - أن هناك ظواهر طبيعية يكون توزيعها غير طبيعي عندما تنظر إليها بطريقة معينة، بينما في طريقة أخرى عندما تنظر إليها يكون توزيعها طبيعياً.
إلى مايكل
قلت إن جميع الظواهر في الطبيعة تقريبًا لا تتصرف مثل الجرس
أحاول العثور على ظاهرة واحدة في الطبيعة تعمل مثل الجرس الدقيق ولا أستطيع العثور عليها
هل من الممكن أن جميع الظواهر في الطبيعة لا تتصرف مثل الجرس، وسيكون علينا دائمًا استخدام شيء ما قريبًا؟
شاب شالوم
سابدارمش يهودا
تقريبًا كل الظواهر في الطبيعة لا تتصرف وفقًا لجرس محدد ولا يمكنها أن تتصرف وفقًا لجرس محدد.
لدى معظمها حد أدنى لا يمكن النزول إليه (على سبيل المثال، الحد الأدنى المرتبط بالصفر المطلق) ويجب أن يستمر منحنى الجرس، كما نعلم، إلى ما لا نهاية على كل جانب.
الأمر كله يتعلق بالتقريب المناسب، وجزء من فعاليته يأتي من حقيقة أنه عند الحد - التوزيع ذي الحدين (الذي غالبًا ما يكون من السهل شرحه) - يقترب من التوزيع الطبيعي.
عليك أن تقرأ الرسائل قبل من يضغط على إرسال.
مجمع = معقد.
الحريدي هو أويلر في العصر الحديث.
الشيء الوحيد هو أن الفكرة قديمة بعض الشيء - عمرها حوالي 250 عامًا.
مثال على ذلك بالطبع الصيغة:
ه^(ط*بي)+1=0
انظروا ما هو - هناك e، pi، عدد مركب i، وأيضًا 0,1، لديه الجمع والضرب والقوة والمساواة!
هناك رب!
أهه،
مثل هذا السبب الذي تبحث عنه ،
ممتاز - أنت تعرف ما هو وليس لدي أي نية للدخول في صراعات لاهوتية عقيمة معك
سبت شالوم (أو بالنسبة لك بالنظر إلى الوقت - أسبوع جيد)
السيد تسفي،
إذا لم يكن لديك أي صعوبة لماذا لا تشرح السبب.
لا يتعلق الأمر بإثبات أو حساب التكاملات
هذا هو "SIB" / "LMH" / "MDU"
لماذا ولماذا ولأي سبب التوزيعات الطبيعية في الواقع المادي
يتم التعبير عنها في هذه التعبيرات الرياضية.
ما هي العلاقة العميقة بـ PI وما هي العلاقة العميقة بـ e
لا تثبت ولكن اشرح سبب هذا الارتباط، هل تستطيع؟
السيد الحريدي
وبالطبع لا صعوبة في تفسير هذين الأمرين:
1. اسم "الجرس" ليس أكثر من لقب للدالة e^-x^2
2. يمكن العثور على مساحة الجرس ببساطة عن طريق التكامل
طازج، (4)
لا بد أنك ضحكت ضحكة منعشة عندما كتبت.
وفقًا لطريقتك، البحر عبارة عن مجموعة من البرك والشخص عبارة عن كتلة من الأحماض الأمينية
من الصعب تفسير سبب علاقة الجرس بالدالة الأسية e^-x^2
والحقيقة أن مساحة الجرس أعلاه هي PI^0.5
موشيه:
وأوافق على ضرورة ذكر نظرية الحد المركزي في هذا السياق، لكنها لا تحل اللغز كله.
في هذا الصدد، دعونا نلقي نظرة على كومة كبيرة جدًا جدًا من الصخور. الآن سنطلب من الناس بناء أبراج عن طريق وضع حجر على حجر، كل برج من 100 حجر مأخوذة عشوائيًا من الكومة. تخبرنا نظرية الحد المركزي أن توزيع ارتفاعات الأبراج سيقترب من التوزيع الطبيعي (وسيقترب من هذا التوزيع كلما تم بناء المزيد من الأبراج بمزيد من الحجارة).
ولا يزال الغموض قائما عند فحص طول الأشخاص مثلا (ما هي اللبنات التي تحدد طول الشخص؟) أو أنواع أخرى من الظواهر التي تتوزع عادة.
الكيمياء هي الفيزياء على مستوى عال.
الكيميائيون فيزيائيون ذوو مستوى منخفض.. 🙂
لا أوافق على أن سن الزواج في بلجيكا وفرنسا ليس ظاهرة فيزيائية، بل هو ظاهرة فيزيائية. كل شيء في الكون هو ظاهرة فيزيائية بما في ذلك الأفكار التي تبدو وكأنها شيء غير مادي. إنها مجرد فيزياء بمستوى أعلى من التعقيد. الفيزياء والكيمياء والأحياء كلها فيزياء في الأساس. الكيمياء هي الفيزياء على مستوى أعلى من التعقيد والبيولوجيا هي مستوى أعلى من التعقيد الفيزيائي.
ومن الجدير بالذكر أن حقيقة تكرار منحنى الجرس وظهوره في العديد من الأماكن المختلفة هي ظاهرة مفهومة جيدًا ويتم تفسيرها بواسطة "قانون الحد المركزي"
http://en.wikipedia.org/wiki/Central_limit_theorem
الذي يجب أن يعرفه كل خريج جامعي في العلوم أو الهندسة.
ران، بفضل دينك، سيستخدم اسمه الأخير فقط.
لا أعرف من هو، لكن اسم "أدولف" ليس له دلالات جيدة حقًا بالنسبة لي....