الرياضيات مليئة بالمفاجآت - كتاب النسبة الذهبية يحتوي على قصص عدد معجزة

ماريو ليفيو. ترجم من الإنجليزية: إيمانويل لوتيم. دار نشر آري نير، 317 صفحة، 84 شيكل

آري صيدلي

بطل الكتاب هو الرقم المعروف باسم "النسبة الذهبية"، وعظمته تكمن في ظهوره في أماكن غير متوقعة لا تعد ولا تحصى: في الطبيعة والفن والهندسة ونظرية الأعداد. وهو عدد غير نسبي (أي لا يمكن التعبير عنه على شكل كسر من رقمين صحيحين)، مكون من أرقام لا نهائية، أولها 1.61803. لقد شغل ويشغل خيال العلماء والمبدعين لفترة طويلة، وسيظل يشغلهم كثيرًا ويظهر في أكثر الأماكن غير المتوقعة.

هذا الرقم هو أحد أقارب سلسلة مشهورة بنفس القدر، والمعروفة باسم "سلسلة فيبوناتشي". وهي أيضًا تلعب دور البطولة في الكتاب، ومن الصعب جدًا في الواقع الفصل بين هذين الكيانين. لذلك، سنبدأ بهذا الجانب من النسبة الذهبية (من المعتاد تمييزها بالحرف اليوناني phi. وفي العبرية يُنطق phi.

سُميت سلسلة فيبوناتشي على اسم عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو بيسانو (ولد في مدينة بيزا، 1250-1170)، أحد أفراد عائلة بونسي، وهو أول من وصفها في كتابه ليبر أباتشي. هذه هي سلسلة الأرقام التالية: ...0، يتم التعبير عن كل رقم كمجموع الرقمين السابقين له. ومن السهل أن نرى أن تقسيم الرقم في الرقم السابق يقترب من النسبة الذهبية، على سبيل المثال 1/1 = 2، 3/5 = 8 وهكذا. وفي هذا السياق يمكن إثبات أنه يمكن الحصول على النسبة الذهبية بإضافة واحد إلى جذر الرقم 13، والقسمة على اثنين. تحتوي سلسلة فيبوناتشي نفسها على الكثير من المفاجآت والمفاتن لدرجة أنه تم إنشاء مجلة منذ حوالي ثلاثين عامًا - مجلة فيبوناتشي الفصلية - والتي تتناول حصريًا السحر المتعلق بها ويتم اكتشاف اكتشافات جديدة كل صباح.

سحر واحد فوري: خذ رقمين في هذه السلسلة، يفصل بينهما مكانان، على سبيل المثال: 13 و5. اضربهم معًا. النتيجة هي 65. الآن خذ الرقم بينهما وقم بتربيعه. والنتيجة هي 64، على بعد واحد من 65. إنه يعمل طوال السلسلة. تستخدم هذه الظاهرة العديد من المفارقات والخداع.

وهنا سحر ساحر آخر يقدمه الكتاب، ويتعلق بمزيج غريب آخر من أرقام فيبوناتشي وثلاثيات فيثاغورس. ثلاثية فيثاغورس هي ثلاثية من الأعداد الصحيحة، بحيث يكون مربع أحدها، بالإضافة إلى مربع العدد الثاني، مربع العدد الثالث.

على سبيل المثال: الثالوث 3، 4، 5 هو ثالوث فيثاغورس، لأن ثلاثة تربيع زائد أربعة تربيع يساوي خمسة وعشرين، أي خمسة تربيع. وهنا يقدم الكتاب وصفة سحرية لكيفية بناء ثلاثية فيثاغورس باستخدام متسلسلة فيبوناتشي: خذ أربعة أرقام فيبوناتشي متتالية، على سبيل المثال: 1،2،3،5. اضرب العددين الخارجيين: واحد في خمسة، لتحصل على خمسة.

هذا هو أول ثالوث فيثاغورس الذي يتم بناؤه أمام أعيننا المتسائلة. الآن اضرب الاثنين الداخلي واضرب الناتج في اثنين: اثنان في ثلاثة في اثنين يساوي اثني عشر. وهذا هو الرقم الثاني في ثلاثية فيثاغورس. الآن خذ مجموع مربعي الرقمين الداخليين: اثنان تربيع زائد ثلاثة تربيع والنتيجة هي ثلاثة عشر، هذا هو الرقم الثالث في ثلاثية فيثاغورس. في الواقع: خمسة تربيع زائد اثني عشر تربيع يساوي بالفعل ثلاثة عشر تربيع. وهنا، كما وعدناكم، هناك ارتباط غامض وغريب وغير متوقع بين كيانين مختلفين في عالم الأرقام: ثلاثية فيثاغورس وأرقام فيبوناتشي.

كما ذكرنا، فإن متسلسلة فيبوناتشي مذهلة للغاية بحيث لا فائدة منها، ومن المستحيل أيضًا استعراض ولو جزء صغير من سحرها الرياضي، ولكننا سنتطرق إلى ميزة مذهلة فيها تعرفت عليها بفضل هذه الرائعة كتاب، وبسببه فقط يستحق القراءة. هذه هي ميزة الرقم الأول. يقول الكتاب، إذا قمت بفحص أول ألفين رقم في السلسلة، ستجد أن الرقم واحد يظهر كأول رقم في 30% من الحالات، والرقم اثنين يظهر كأول رقم في 17% من الحالات، الرقم ثلاثة في 12% من الحالات، وهكذا. وهنا قام أستاذ يدعى مارك نيجريني بدراسة سكان حوالي ثلاثة آلاف مقاطعة في التعداد السكاني الأمريكي عام 1990. فوجد أن الرقم واحد يظهر في 32% من الحالات، والرقم اثنين يظهر في 17% من الحالات، وثلاثة في 14% من الحالات، نفس التوزيع الذي وصفناه في أرقام فيبوناتشي بالضبط. وهذه مرة أخرى ظاهرة غريبة وغامضة للغاية.

وقام الفيزيائي بنفورد بتعميم هذه الظاهرة على العديد من المجالات، بما في ذلك منطقة أحواض تصريف الأنهار. وبالتالي فإن غرابة وسحر أرقام فيبوناتشي لا تنتهي أبدًا. فلا عجب أن هناك فلاسفة زعموا أن "أرقام فيبوناتشي هي لبنات بناء الله".

ومن الممكن جداً أن يكون الأمر كذلك، خاصة أنها لا تظهر في الرياضيات فقط بل في الطبيعة أيضاً، والمثال الجميل الذي قدمه الكتاب (ص 119) سيثبت ذلك. أنشأ الباحث السويسري تشارلز بونا مصطلح phyllotaxy فيما يتعلق بترتيب الأوراق في الشجرة. على سبيل المثال، تتساقط أوراق شجرة التفاح وبلوط الفلين والخوخ كل 2/5 دورة (لاحظ أن 2 و5 أرقام في سلسلة فيبوناتشي، مع تخطي واحد)، في حين أن أوراق شجرة الكمثرى والصفصاف الباكية تغادر كل 3 /8 دورة (مرة أخرى، يتم احتساب هذه في قفزة واحدة، ضمن سلسلة فيبوناتشي). كيف تعرف الطبيعة كيف تتصرف هكذا؟

في رأيي المتواضع، ليس من الممكن الرد على مثل هذه الظاهرة. لكن يمكنك التصرف بشكل مختلف: يمكنك أن تفترض مسبقًا أن أرقام فيبوناتشي تظهر في أي مكان غير متوقع في الطبيعة والرياضيات، وتبحث عنها ببساطة. هناك أيضًا من يدعي مثل هذا الموقف في سلوك التبادلات. يحتوي الكتاب على العديد من الأمثلة على وجود أرقام فيبوناتشي في الطبيعة، والموسيقى، والفن، والهندسة، والاقتصاد، وباختصار - غير متوقع في كل مكان.

وفي هذه الأثناء لا بد أن يشعر القراء بهذا الشعور، فقد أهملنا النسبة الذهبية، البطل الآخر للكتاب. ماذا عنه أين ظهر في أي مكان غير متوقع؟ لا تقلق! ويظهر أيضًا في كل ركن من أركان الفن والطبيعة والرياضيات.

يدعي العديد من علماء الفن أن النسبة الذهبية (أو النسبة الذهبية) تعبر عن العلاقة الكلاسيكية بين طول وعرض المستطيل والأشكال الأخرى. حتى أنهم يزعمون أن الجمال في الطبيعة، كالوجه الجميل مثلاً، يحتوي على النسبة الذهبية. المؤلف لا يتفق مع أي بيان من هذا القبيل، بل ويتباهى به. وبالمثل، يدعي البعض أن أبعاد الهرم الأكبر في مصر مستمدة من النسبة الذهبية، وقد تم تحليل هذا التأكيد أيضًا بشكل مطول (ربما مبالغ فيه قليلاً) من قبل المؤلف.

هذا كتاب مهم للغاية ومثير للاهتمام، وترجمة إيمانويل لوتيم ممتازة. ومن ناحية أخرى، هناك بعض العيوب. فمن ناحية، يستشهد الكتاب بالعديد من الكتب والمقالات لكنه لا يشير إلى الأسماء الأصلية باللغة العبرية، مما يجعل من الصعب على القراء تحديد المصدر.

عيب آخر هو عدم الرجوع إلى مواقع الإنترنت، والتي تحتوي أيضًا على بحر لا ينضب من المواد. على سبيل المثال، وجدت الحالة التالية على الإنترنت وهي تسمى قانون جان كلود بيريز. قام بدراسة تسلسل الشفرة الوراثية في جزيء الأنسولين، الذي يتكون من 90 قاعدة ("حروف"). الحروف المحتملة في الشفرة الوراثية هي: GA، C، T. إذا حسبت عدد حروف T في التسلسل الجيني، تحصل على 34 حرفًا، بينما مجموع الحروف الأخرى هو 34. 56 و 55 هما حرفان فيبوناتشي متتاليان. أعداد.

علاوة على ذلك، هكذا وجد، إذا أخذت سلسلة لاحقة من الشفرة الوراثية في الأنسولين، فإن هذه الظاهرة تكرر نفسها: في سلسلة لاحقة من 54 حرفًا، تحصل على إجمالي 22 حرف T (وهو قريب من 21، رقم فيبوناتشي) )، ومجموع باقي الحروف هو 32، وهو قريب من رقم فيبوناتشي الذي يلي 34، 21.

نصيحة بسيطة جدًا للمهتمين، هي استخدام محرك بحث واكتب كلمة فيبوناتشي، أو عبارة النسبة الذهبية، وستحصل على وفرة لا تنضب من المواد الرائعة.

عيب آخر في الكتاب هو الانشغال الطويل بمسألة ما إذا كانت النسبة الذهبية معروفة بالفعل لمصر وبابل ومن اكتشفها لأول مرة. ولكن هذا النقص يتم تعويضه بالتأكيد من خلال الفصول الأخرى.

النسبة الذهبية ماريو ليفيو

مقالات أرييه روكا عن أرقام فيبوناتشي نُشرت في "فيبوناتشي الفصلية" وفي "الحا" - نشرة معلمي الرياضيات

https://www.hayadan.org.il/BuildaGate4/general2/data_card.php?Cat=~~~783130595~~~133&SiteName=hayadan